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中文名;夹角
  
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外文名;Included angle
  
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所属;数学术语
 
 
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拼音;jiá jiǎo
 
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 在数学中,两条直线(或向量)相交所形成的最小正角称为这两条直线(或向量)的'''夹角''',通常记作∠Θ(Included angle),两条直线夹角的区间范围为{Θ|0≤Θ≤π/2},两个向量夹角的区间范围为{Θ|0≤Θ≤π}。
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 在数学中,两条直线(或向量)相交所形成的最小正角称为这两条[[ 直线]] (或向量)的'''夹角''',通常记作∠Θ(Included angle),两条直线夹角的区间[[ 范围]] 为{Θ|0≤Θ≤π/2},两个向量夹角的区间范围为{Θ|0≤Θ≤π}。
  
 
 角在几何学和三角学中有着广泛的应用。
 
 角在几何学和三角学中有着广泛的应用。
  
 几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟认为角是相对一直线的偏差,安提阿的卡布斯认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系,不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。<ref>[ ], , --</ref>
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 几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。[[ 普罗克鲁斯]] 认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟认为角是相对一直线的偏差,[[ 安提阿的卡布斯]] 认为角是二条相交直线之间的[[ 空间]] 。欧几里得认为角是一种关系,不过他对直角、锐角或[[ 钝角]] 的定义都是量化的。<ref>[https://wenda.so.com/q/1365199895069946 什么是夹角],360问答 , 2013年4月6日</ref>
  
 
==表示方法==
 
==表示方法==
  
 角通常用三个字母表示:两条边上的点的字母写在两旁,顶点上的字母写在中间。角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下,也会直接用顶点的字母表示,例如角∠O。
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 角通常用三个字母表示:两条边上的点的字母写在两旁,[[ 顶点]] 上的字母写在中间。角用∠AOB表示。但若在不会产生[[ 混淆]] 的情形下,也会直接用顶点的字母表示,例如角∠O。
  
 在数学式中,一般会用希腊字母(α,β,γ,θ,φ, ...)表示角的大小。为避免混淆,符号π一般不用来表示角度。
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 在数学式中,一般会用[[ 希腊]] 字母(α,β,γ,θ,φ, ...)表示角的大小。为避免混淆,符号π一般不用来表示角度。
  
 
==角的测量==
 
==角的测量==
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 以角的端点为圆心做圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比,而角是长度的比例,所以圆的大小不会影响角的测量。
 
 以角的端点为圆心做圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比,而角是长度的比例,所以圆的大小不会影响角的测量。
  
弧度:用角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的半径,一般记作rad。弧度是国际单位制中规定的角的度量,但却不是中国法定计量单位,角度则是角在中国的法定计量单位。此外,弧度在数学及三角学中有广泛的应用。
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[[ 弧度]] :用角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的半径,一般记作rad。弧度是国际单位制中规定的角的度量,但却不是中国法定[[ 计量单位]] ,角度则是角在中国的法定计量单位。此外,弧度在数学及三角学中有广泛的应用。
  
 角度:由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果,一般用°来标记,读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度在天文学和全球定位系统中有重要应用。
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 角度:由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果,一般用°来标记,读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度在天文学和全球[[ 定位系统]] 中有重要应用。
  
 
 梯度:是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。
 
 梯度:是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。
  
 以下是一些其他的测量单位,对应不同的n值。
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 以下是一些其他的[[ 测量单位]] ,对应不同的n值。
  
 圈数或转数(n=1):是指完整旋转一圈,依应用的不同,会简写为cyc、rev或rot,不过在每分钟转速(RPM)的单位中,只用一个字母r表示。
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 圈数或转数(n=1):是指完整旋转一圈,依应用的不同,会简写为cyc、rev或rot,不过在每分钟转速(RPM)的[[ 单位]] 中,只用一个字母r表示。
  
 直角(n=4):是1/4圈,是几何原本中用的角度单位,直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。
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 直角(n=4):是1/4圈,是[[ 几何]] 原本中用的角度单位,直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。
  
 时角(n=24):)常用在天文学中,是1/24圈。此系统是用在一天一个周期的循环(例如星星的相对位置),其六十进制下的子单位称为“时间分角”及“时间秒角”,这两个单位和角度的角分及角秒不同,前者大小为后者的十五倍。1时角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。
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 时角(n=24):)常用在天文学中,是1/24圈。此系统是用在一天一个周期的[[ 循环]] (例如星星的相对位置),其六十进制下的子单位称为“时间分角”及“时间秒角”,这两个单位和角度的角分及角秒不同,前者大小为后者的十五倍。1时角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。
  
 米位(n=6000–6400):此单位是指一个单位大约等于毫弧度的角度,有许多不同的定义,其数值从0.05625度到0.06度(3.375至3.6角分),而毫弧度约为0.05729578度(3.43775角分)。在北大西洋公约组织的国家中,米位定义为圆的1/6400。其数值大约等于一个角度的弧长为一米,其半径为一公里的角度(2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000)。
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 米位(n=6000–6400):此单位是指一个单位大约等于毫弧度的角度,有许多不同的定义,其数值从0.05625度到0.06度(3.375至3.6角分),而毫弧度约为0.05729578度(3.43775角分)。在北大西洋公约组织的国家中,米位定义为圆的1/6400。其数值大约等于一个角度的[[ 弧长]] 为一米,其半径为一公里的角度(2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000)。
  
 
 角分(n=21,600):定义为一度的1/60,是1/21600圈,会用′表示,例如3°30′ 等于 3+30/60 度,也就是3.5度,有时也会出现小数,例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定义为在地球的大圆上一角分的弧长。
 
 角分(n=21,600):定义为一度的1/60,是1/21600圈,会用′表示,例如3°30′ 等于 3+30/60 度,也就是3.5度,有时也会出现小数,例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定义为在地球的大圆上一角分的弧长。
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 零角角度等于0°,或一条线
 
 零角角度等于0°,或一条线
  
 锐角角度大于0°且小于90°,或弧度大于0且小于{\displaystyle \pi /2}的角。
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 锐角角度大于0°且小于90°,或[[ 弧度]] 大于0且小于{\displaystyle \pi /2}的角。
  
 
 直角角度等于90°,或弧度为{\displaystyle \pi /2}的角。
 
 直角角度等于90°,或弧度为{\displaystyle \pi /2}的角。
  
钝角角度大于90°且小于180°,或弧度大于{\displaystyle \pi /2}且小于{\displaystyle \pi }的角。
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[[ 钝角]] 角度大于90°且小于180°,或弧度大于{\displaystyle \pi /2}且小于{\displaystyle \pi }的角。
  
 
 平角角度等于180°,或弧度为{\displaystyle \pi }的角。
 
 平角角度等于180°,或弧度为{\displaystyle \pi }的角。
  
 优角或反角角度大于180°且小于360°,或弧度大于{\displaystyle \pi }且小于{\displaystyle 2\pi }的角。
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 优角或反角角度大于180°且小于360°,或[[ 弧度]] 大于{\displaystyle \pi }且小于{\displaystyle 2\pi }的角。
  
 
 周角角度等于360°,或弧度为{\displaystyle 2\pi }的角。
 
 周角角度等于360°,或弧度为{\displaystyle 2\pi }的角。
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 有三种特殊角的组合,其度数和均为特殊的值:
 
 有三种特殊角的组合,其度数和均为特殊的值:
  
 余角:当两个角的度数之和等于90°,即一个直角,这两个角便是余角。若两个相邻的角互为余角,两个非共用边会形成直角。在欧几里得几何中,非直角的两角即互为余角。
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 余角:当两个角的度数之和等于90°,即一个直角,这两个角便是余角。若两个相邻的角互为[[ 余角]] ,两个非共用边会形成直角。在欧几里得几何中,非直角的两角即互为余角。
  
 
 若角A和B互为余角,以下的数学式会成立:
 
 若角A和B互为余角,以下的数学式会成立:
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 (一角的正切等于其余角的余切,一角的正割等于其余角的余割)
 
 (一角的正切等于其余角的余切,一角的正割等于其余角的余割)
  
 补角:当两个角的度数之和等于180°,即一个平角,这两个角便是互补角。若两个相邻的角互为余角,两个非共用边会形成一直线。不过两个不相邻的角也可以是补角,例如平行四边形中,任两邻角为互补角。圆内接四边形的对角也是互补角。
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 补角:当两个角的度数之和等于180°,即一个平角,这两个角便是互补角。若两个相邻的角互为[[ 余角]] ,两个非共用边会形成一直线。不过两个不相邻的角也可以是[[ 补角]] ,例如平行四边形中,任两邻角为互补角。圆内接四边形的对角也是[[ 互补角]]
  
 
 若点P为圆O外的一点,而过点P作圆的切线,切点分别在点T和点Q,则∠TPQ和∠TOQ为互补角。
 
 若点P为圆O外的一点,而过点P作圆的切线,切点分别在点T和点Q,则∠TPQ和∠TOQ为互补角。
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 两互补角的正弦相等,其余弦及正切(若有定义义)大小相等,但符号异号。
 
 两互补角的正弦相等,其余弦及正切(若有定义义)大小相等,但符号异号。
  
 在欧几里得几何中,三角形两角的和为第三角的补角。
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 在欧几里得几何中,三角形两角的和为第三角的[[ 补角]]
  
 
==黎曼几何中==
 
==黎曼几何中==
  
 在黎曼几何中,利用度量张量来定义二条切线之间的夹角,其中U及V是切线向量,gij是度量张量G的分量。
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 在黎曼几何中,利用度量张量来定义二条切线之间的夹角,其中U及V是[[ 切线]] 向量,gij是度量张量G的分量。
  
 
==天文学中==
 
==天文学中==
  
 以地理的观点,地球上任何一个位置都可以用地理座标系统来表示,此系统标示位置的经度及纬度,两者都以此点连至地球球心连线的角度来表示,经度是以格林威治子午线为参考基准,而纬度是以赤道为参考基准。
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 以地理的观点,地球上任何一个位置都可以用[[ 地理座标]] 系统来表示,此系统标示位置的经度及纬度,两者都以此点连至地球球心连线的角度来表示,经度是以[[ 格林威治子午线]] 为参考基准,而纬度是以赤道为参考基准。
  
 在天文学中,天球的一点可以用任何一种天球坐标系统来表示,不过其基准则因坐标系统不同而不同。天文学量测二颗星星的角距离时,会假想分别有二颗星星分别和地球连成的直线,再量测这二条直线的夹角,即为角距离。
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 在天文学中,天球的一点可以用任何一种[[ 天球坐标]] 系统来表示,不过其基准则因坐标系统不同而不同。[[ 天文学]] 量测二颗星星的角距离时,会假想分别有二颗星星分别和地球连成的直线,再量测这二条直线的夹角,即为角距离。
  
 天文学家也会用角直径量测一物体的表观大小。例如满月的角直径约为0.5°。小角公式可以将上述的角测量转换为距离和大小的比值。
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 天文学家也会用角直径量测一物体的表观大小。例如满月的角直径约为0.5°。小角公式可以将上述的角测量转换为[[ 距离]] 和大小的比值。
  
 
== 参考来源 ==
 
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<center>向量的夹角公式基础知识归纳 </center>
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== 参考资料 ==
  
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[[Category: 990 遊藝及休閒活動總論]]
 
 
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於 2022年6月11日 (六) 07:09 的最新修訂

夾角

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中文名;夾角

外文名;Included angle

所屬;數學術語

拼音;jiá jiǎo

在數學中,兩條直線(或向量)相交所形成的最小正角稱為這兩條直線(或向量)的夾角,通常記作∠Θ(Included angle),兩條直線夾角的區間範圍為{Θ|0≤Θ≤π/2},兩個向量夾角的區間範圍為{Θ|0≤Θ≤π}。

角在幾何學和三角學中有着廣泛的應用。

幾何之父歐幾里得曾定義角為在平面中兩條不平行的直線的相對斜度。普羅克魯斯認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨認為角是相對一直線的偏差,安提阿的卡布斯認為角是二條相交直線之間的空間。歐幾里得認為角是一種關係,不過他對直角、銳角或鈍角的定義都是量化的。[1]

表示方法

角通常用三個字母表示:兩條邊上的點的字母寫在兩旁,頂點上的字母寫在中間。角用∠AOB表示。但若在不會產生混淆的情形下,也會直接用頂點的字母表示,例如角∠O。

在數學式中,一般會用希臘字母(α,β,γ,θ,φ, ...)表示角的大小。為避免混淆,符號π一般不用來表示角度。

角的測量

以角的端點為圓心做圓弧。由於圓弧的半徑和弧長成正比,而角是長度的比例,所以圓的大小不會影響角的測量。

弧度:用角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的半徑,一般記作rad。弧度是國際單位制中規定的角的度量,但卻不是中國法定計量單位,角度則是角在中國的法定計量單位。此外,弧度在數學及三角學中有廣泛的應用。

角度:由角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的周長再乘以360的結果,一般用°來標記,讀作「度」。一度可以繼續分為60「分」或3600「秒」。角度在天文學和全球定位系統中有重要應用。

梯度:是角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的周長再乘以400的結果。

以下是一些其他的測量單位,對應不同的n值。

圈數或轉數(n=1):是指完整旋轉一圈,依應用的不同,會簡寫為cyc、rev或rot,不過在每分鐘轉速(RPM)的單位中,只用一個字母r表示。

直角(n=4):是1/4圈,是幾何原本中用的角度單位,直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。

時角(n=24):)常用在天文學中,是1/24圈。此系統是用在一天一個周期的循環(例如星星的相對位置),其六十進制下的子單位稱為「時間分角」及「時間秒角」,這兩個單位和角度的角分及角秒不同,前者大小為後者的十五倍。1時角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。

米位(n=6000–6400):此單位是指一個單位大約等於毫弧度的角度,有許多不同的定義,其數值從0.05625度到0.06度(3.375至3.6角分),而毫弧度約為0.05729578度(3.43775角分)。在北大西洋公約組織的國家中,米位定義為圓的1/6400。其數值大約等於一個角度的弧長為一米,其半徑為一公里的角度(2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000)。

角分(n=21,600):定義為一度的1/60,是1/21600圈,會用′表示,例如3°30′ 等於 3+30/60 度,也就是3.5度,有時也會出現小數,例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定義為在地球的大圓上一角分的弧長。

角秒(n=1,296,000):定義為一角分的1/60,會用″表示,例如3°7′30″等於3 + 7/60 + 30/3600 度,或是3.125度。

角的種類

零角角度等於0°,或一條線

銳角角度大於0°且小於90°,或弧度大於0且小於{\displaystyle \pi /2}的角。

直角角度等於90°,或弧度為{\displaystyle \pi /2}的角。

鈍角角度大於90°且小於180°,或弧度大於{\displaystyle \pi /2}且小於{\displaystyle \pi }的角。

平角角度等於180°,或弧度為{\displaystyle \pi }的角。

優角或反角角度大於180°且小於360°,或弧度大於{\displaystyle \pi }且小於{\displaystyle 2\pi }的角。

周角角度等於360°,或弧度為{\displaystyle 2\pi }的角。

角的組合

有三種特殊角的組合,其度數和均為特殊的值:

餘角:當兩個角的度數之和等於90°,即一個直角,這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角,兩個非共用邊會形成直角。在歐幾里得幾何中,非直角的兩角即互為餘角。

若角A和B互為餘角,以下的數學式會成立:

(一角的正切等於其餘角的餘切,一角的正割等於其餘角的餘割)

補角:當兩個角的度數之和等於180°,即一個平角,這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角,兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角,例如平行四邊形中,任兩鄰角為互補角。圓內接四邊形的對角也是互補角

若點P為圓O外的一點,而過點P作圓的切線,切點分別在點T和點Q,則∠TPQ和∠TOQ為互補角。

兩互補角的正弦相等,其餘弦及正切(若有定義義)大小相等,但符號異號。

在歐幾里得幾何中,三角形兩角的和為第三角的補角

黎曼幾何中

在黎曼幾何中,利用度量張量來定義二條切線之間的夾角,其中U及V是切線向量,gij是度量張量G的分量。

天文學中

以地理的觀點,地球上任何一個位置都可以用地理座標系統來表示,此系統標示位置的經度及緯度,兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示,經度是以格林威治子午線為參考基準,而緯度是以赤道為參考基準。

在天文學中,天球的一點可以用任何一種天球坐標系統來表示,不過其基準則因坐標系統不同而不同。天文學量測二顆星星的角距離時,會假想分別有二顆星星分別和地球連成的直線,再量測這二條直線的夾角,即為角距離。

天文學家也會用角直徑量測一物體的表觀大小。例如滿月的角直徑約為0.5°。小角公式可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。

參考來源

向量的夾角公式基礎知識歸納

參考資料

  1. 什麼是夾角,360問答 , 2013年4月6日