厄米特矩阵
| 埃尔米特矩阵 |
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中文名: 厄米特矩阵 外文名: Hermitian Matrix 别 名: 埃尔米特矩阵 性 质: 自共轭 学 科: 数学 应用领域: 数理化学 |
厄米特矩阵（Hermitian Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。[1]
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定义
将一矩阵A的行与列互换，并取各矩阵元素的共轭复数，得一新矩阵，称为厄米特共轭，以A+表之。此厄米特共轭有(AB)+=B+A+的性质。若一矩阵H，其厄米特共轭矩阵H+等于本身H，即H+=H，则矩阵H称为厄米特矩阵。
n阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。
由定义得知，厄米特矩阵的对角线上各元素必为实数。通常厄米特矩阵并不对称，除非所有元素均为实数。厄米特矩阵的特殊性质是其本征值一定是实数。
在物理系统中，其可观察的物理量(例如坐标、动量、能量等等)，在量子力学中可视为一算符，此算符有对应的本征向量和本征值，算符所对应的本征向量代表物理系统的状态，物理量发的结果就是本征值。因此，如用矩阵表示算符，则一定是厄米特矩阵，因为厄米特矩阵的本征值为实数，所以也是可观察的量。
性质
显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。
若A和B是埃尔米特矩阵，那么它们的和A+B也是埃尔米特矩阵；而只有在A和B满足交换性（即AB=BA）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。
可逆的埃尔米特矩阵A的逆矩阵
仍然是埃尔米特矩阵。
如果A是埃尔米特矩阵，对于正整数n，
是埃尔米特矩阵。
方阵C与其共轭转置的和是埃尔米特矩阵。
任意方阵C都可以用一个埃尔米特矩阵A与一个斜埃尔米特矩阵B的和表示。
埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组C的正交基。
n阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为
的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之外的元素有两个自由度。
如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。
推论
（1）n阶厄米特矩阵A为正定（半正定）矩阵的充要条件是A的所有特征值大于（大于等于）0。
（2）若A是n阶厄米特矩阵，其特征值对角阵为V，则存在一个酉矩阵U，使AU=UV。
（3）若A是n阶厄米特矩阵，其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。
（4）主对角线元素皆为实数的埃尔米特矩阵的特征值均为实数, 斜埃尔米特矩阵的特征值为零或纯虚数。
对称矩阵与尼米特矩阵
对称矩阵与尼米特矩阵是实践中遇到比较多的矩阵。例如：电路中的许多矩阵，象电阻性网络中回路方程的阻抗矩阵图论中无向图的邻接矩阵等。这两种矩阵的性质与有关定理有许多共同之处。
实数域上的一个阶矩阵A，如果A=A'，则称A为对称矩阵。例如：
有两个比较明显的事实
(1)如果一个厄米特矩阵A的元素都是实数，则`A′=A′，厄米特矩阵就是对称矩阵。
(2)如果A是对称矩阵，C是正交矩阵，则C-1AC是对称矩阵。