交错代数
| 交错代数 |
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中文名: 交错代数 外文名: alternative algebra 结 构: 结合子交错 方 式: 三线性映射 公 式: [x,y,z] = (xy)z − x(yz) 应 用: 穆方平面 |
交错代数, 在抽象代数中，交错代数是乘法不满足结合性，仅满足交错性的代数。也就是说，我们有：
x(xy) = (xx)y (yx)x = y(xx) 对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的非结合代数，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。[1]
目录
定义
交错代数是指满足特别公理的一种非结合代数。指它的任意两个元素x，y恒有：
x²y=x(xy)， yx²=(yx)x.
写成结合子形式，即(x，x，y)=(y，x，x)=0.交错意味着对任意一个3级置换σ恒有：
(x1，x2，x3)=(sgnσ)(xσ(1)，xσ(2)，xσ(3)).
交错代数中任意两个元素生成的子代数都是结合的。有限维交错代数是半单的，当且仅当它是其单理想之直和。
结合子
交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射，由下式给出：
[x,y,z] = (xy)z − x(yz) 根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：
[x,x,y] = 0 [y,x,x] = 0. 两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说：
[xσ(1),xσ(2),xσ(3)] = sgn(σ)[x1,x2,x3] 对于任何置换σ。于是可以推出：
[x,y,x] = 0 对于所有的x和y。这等价于所谓的柔性恒等式：
(xy)x = x(yx). 因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个：
左交错恒等式：x(xy) = (xx)y 右交错恒等式：(yx)x = y(xx) 柔性恒等式：(xy)x = x(yx). 这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。
一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的特征不是2。
非结合代数
抽象代数学的一个重要分支，与结合环和结合代数理论在概念与术语的使用上、问题的背景与提出的方式上、讨论中的思路与解决问题的方法上都有密切联系.若集合R上有两个二元运算：加法“+”和乘法“·”，而且：
1.(R，+)是加法群;
2.R的乘法“·”对其加法“+”满足分配律，即对任意x，y，z∈R，恒有：
(x+y)·z=x·z+y·z，
z·(x+y)=z·x+z·y;
则称(R，+，·)是一个非结合环.进而，
3.若(R，+)是域F上的线性空间，且对任意α∈F，任意x，y∈R有
α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);
则称(R，+，·)是域F上的一个非结合代数.也称非结合环、非结合代数为分配环和分配代数.设(A，+，·)是一个非结合代数，若它对其乘法满足结合律或交错律或若尔当律或雅可比恒等式等，就分别称其为结合代数、交错代数、非交换若尔当代数、李代数等.因为，结合环必为非结合环，每个结合代数都是非结合代数，所以，字头“非”意味着乘法满足结合律与不满足结合律的环与代数的总和.由于结合环与结合代数的研究工作起步早、成果多，已自成系统，所以在非结合代数与非结合环理论中通常将那些“结合的”系统排除在外.同样道理，李代数已形成独立局面，而不再被包含在一般非结合代数中.
一些重要的非结合代数是受到量子力学、统计物理等刺激发展起来的，但是在其代数结构的理论探讨上，可以说，基本上是沿着结合代数结构理论的路子向前发展.如引入理想、同态、商代数、根、直和、链条件、半单等概念，分别讨论各种类型非结合代数的韦德伯恩定理存在的可能性等.
在这个分支中，到目前为止，研究成果比较令人满意的是幂结合代数、凯莱代数、若尔当代数、非交换若尔当代数、交错代数等.
性质
阿廷定理说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的子代数是结合的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素x,y,z是结合的（也就是说，[x,y,z] = 0），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。
阿廷定理的一个推论是，交错代数都是幂结合的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：十六元数是幂结合的，但不是交错的。
穆方恒等式
a(x(ay)) = (axa)y ((xa)y)a = x(aya) (ax)(ya) = a(xy)a 在任何交错代数中都成立。
在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素x和所有的y，都有：
y = x − 1(xy). 这等于是说，对于所有这类的x和y，结合子[x − 1,x,y]都是零。如果x和y是可逆的，那么xy也是可逆的，其乘法逆为(xy) − 1 = y − 1x − 1。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。
应用
任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面。
穆方恒等式是非结合代数中元素的等式。它是某些类型非结合代数满足的一些公理，即该代数中任意元素x，y，z满足：
[(xy)x]z=x[y(xz)]，
z[x(yx)]=[(zx)y]x，
(xy)(zx)=[x(yz)]x.
这些公理称为穆方恒等式。首先出现在穆方圈(Monfang loop)的研究中，现常应用于非结合代数的分类中。每个交错代数恒满足这些穆方恒等式。