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十字相乘
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| style="background: #FF2400" align= center| '''<big>十字相乘</big>'''
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| style="background: #66CCFF" align= center| '''<big>十字相乘</big> ''' light|-
应用学科；数学
|}
'''十字相乘'''法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1. [[ 提公因式法 ]] 2.公式法 3. [[ 双十字相乘法 ]] 4.轮换对称法 5.拆添项法 6. [[ 配方 法7法]]7.因式定理法 8.换元法 9. [[ 综合除法 ]] 10.主元法 11.特殊值法 12.待定系数法 13.二次多项式。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项 [[ 系数 ]] ，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数 [[ 范围 ]] 内）。对于像ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。<ref>[ https://xinzhi.wenda.so.com/a/1544975693201792 巧用十字相乘法解一元二次方程], 360新知 , 2018-12-16</ref>
==原理==
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的 [[ 比例 ]] 。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
则：[A*M+B*(S－M)]/S=C
==判定==
对于形如ax²+bx+c的多项式，在判定它能否使用 [[ 十字相乘 ]] 法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。
==运算举例==
首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a+?)×(a-?)，
然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过 [[ 合并同类项 ]] 以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。
所以a²+a-42就被分解成为（a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法 [[ 分解因式 ]] 。
具体应用
双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法 [[ 运算 ]] 过程较繁。对于这问题，若采用“双十字分解法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例2：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1
要诀：把缺少的一项当作 [[ 系数 ]] 为0，0乘任何数得0，
例3：ab+b²+a-b-2
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式。
例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作 [[ 常数 ]] ，于是上式可变形为
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的 [[ 二次三项 ]] 式，也可以用十字分解法，分解为
即
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)至少有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求 [[ 多项 式f式]]f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
==分解因式==
6y²+19y+15
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行 [[ 因式分解 ]] 。
因为
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种 [[ 情况 ]] ：
1 3
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行 [[ 多项式 ]] 的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。
难点：灵活运用十字分解法分解因式。因为并不是所有二次多项式都可以用十字相乘法分解因式。
重点：正确地运用 [[ 十字分解 ]] 法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。
==注意事项==
第一点：用来解决两者之间的比例问题。
第二点：得出的比例关系是基数的 [[ 比例关系 ]] 。
第三点：总均值放中央， [[ 对角线 ]] 上，大数减小数，结果放在对角线上。
== 参考来源 ==
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<center>30分钟学会十字相乘法</center>
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== 参考资料 ==