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二元函数
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设D是二维空间R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的'''二元函数'''，通常记为
z=f（x，y），（x，y）∈D
或
z=f（P），P∈D，
其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.
上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.<ref>[ ], , --</ref>
==定义==
设D是二维空间R2={（x，y）|x，y∈R}的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为
z=f（x，y），（x，y）∈D
或
z=f（P），P∈D，
其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.
上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.
与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等.
给定平面上一个点集E，对于E来说，平面上任一个点必为下列三种点之一：
（1）E之内点
若对于点M0，存在某个δ>0，使Uδ（M0）⊂E，即存在以M0为心之充分小的开圆整个属于E，则称M0为E之内点.
（2）E之外点
若对于点M0，存在某个δ>0，使Uδ（M0）∩E=Ø，即存在以M0为心之充分小的开圆与E不交，则称M0为E之外点.
（3）E之边界点
若对于点M0，任意的δ>0都使Uδ（M0）中既有E之点，又有非E之点，即对任意δ>0，Uδ（M0）∩E≠Ø且Uδ（M0）⊄E，则称M0为E之边界点.
==聚点==
设点P∈R2，点集E⊂R2，如果对于任意给定的δ>0，点P的去心邻域
内总有E中的点，则称P是E的聚点.
==开集、闭集、边界==
若点集E中之点，都是E之内点，则称E为开集；若点集E包含E之一切边界点，则称E为闭集.
E之一切边界点组成的集合，称为E之边界，记作∂E.
==连通集==
若集合E中任意两点可以由一条完全在E中之折线连接起来，则称E为连通集.
==（开）区域、闭区域==
连通的开集称为区域或开区域.开区域连通它的边界一起所构成的点集称为闭区域.
==有界集、无界集==
对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得E⊂U（O，r），其中O是坐标原点，则称E为有界集，否则E为无界集.
==极限==
设二元函数f（P）=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当P（x，y）∈D∩
时，都有
|f（P）-A|=|f（x，y）-A|<ε
成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作
或f（x，y）→A（（x，y）→（x0，y0）），
也记作
或f（P）→A（P→P0）.
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限.
必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在.
关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则.
==连续性==
如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处极限存在且为f（x0，y0），即有
，则称函数f（x，y）在P0（x0，y0）处连续.
如果函数f（x，y）在区域D内的每一点处都连续，则称函数f（x，y）在D内连续.
一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.
在有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
在有界闭区域D上的二元连续函数必定在D上一致连续.
设D为f（x，y）的定义区域，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的任意两点P1、P2，只要当|P1P2|<δ时，都有|f（P1）-f（P2）|<ε，则称f（x，y）在D上一致连续.
令二元函数z=f（x，y）的自变量y保持定值y0，这时z就成为自变量x的一元函数.如果这个一元函数z=f（x，y0）在x0处的微商存在，则称此微商为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏微商（或偏导数），记作fx（x0，y0），或记作
zx（x0，y0）， .
==全微分==
设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，若自变量x与y各有增量△x与△y，则称
△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）
为函数f（x，y）在点（x0，y0）的全增量.
如果存在常数A与B，使得函数在点（x0，y0）的全增量△z可以表示为
△z=A△x+B△y+o（ρ）（ρ→0），
其中ρ=
，则称A△x+B△y为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的全微分，记作
或df（x0，y0），
这时称函数z在点（x0，y0）处可微.
若函数在区域D内任一点处都可微，则称函数在D内是可微的.
若函数f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则函数f（x，y）在点（x0，y0）处的两个偏微商都存在，并且
其中A，B是全微分定义中的常数.
若函数z=f（x，y）的两个偏微商在点（x0，y0）处连续，则函数f（x，y）在点（x0，y0）处可微.
==几何意义==
设M0（x0，y0，f（x0，y0））为曲面z=f（x，y）上的一点，过M0作平面y=y0，截此曲面得一曲线，此曲线在平面y=y0上的方程为z=f（x，y0），则导数
，即偏导数fx（x0，y0），就是这曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.
== 参考来源 ==
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设D是二维空间R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的'''二元函数'''，通常记为
z=f（x，y），（x，y）∈D
或
z=f（P），P∈D，
其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.
上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.<ref>[ ], , --</ref>
==定义==
设D是二维空间R2={（x，y）|x，y∈R}的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为
z=f（x，y），（x，y）∈D
或
z=f（P），P∈D，
其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.
上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.
与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等.
给定平面上一个点集E，对于E来说，平面上任一个点必为下列三种点之一：
（1）E之内点
若对于点M0，存在某个δ>0，使Uδ（M0）⊂E，即存在以M0为心之充分小的开圆整个属于E，则称M0为E之内点.
（2）E之外点
若对于点M0，存在某个δ>0，使Uδ（M0）∩E=Ø，即存在以M0为心之充分小的开圆与E不交，则称M0为E之外点.
（3）E之边界点
若对于点M0，任意的δ>0都使Uδ（M0）中既有E之点，又有非E之点，即对任意δ>0，Uδ（M0）∩E≠Ø且Uδ（M0）⊄E，则称M0为E之边界点.
==聚点==
设点P∈R2，点集E⊂R2，如果对于任意给定的δ>0，点P的去心邻域
内总有E中的点，则称P是E的聚点.
==开集、闭集、边界==
若点集E中之点，都是E之内点，则称E为开集；若点集E包含E之一切边界点，则称E为闭集.
E之一切边界点组成的集合，称为E之边界，记作∂E.
==连通集==
若集合E中任意两点可以由一条完全在E中之折线连接起来，则称E为连通集.
==（开）区域、闭区域==
连通的开集称为区域或开区域.开区域连通它的边界一起所构成的点集称为闭区域.
==有界集、无界集==
对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得E⊂U（O，r），其中O是坐标原点，则称E为有界集，否则E为无界集.
==极限==
设二元函数f（P）=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当P（x，y）∈D∩
时，都有
|f（P）-A|=|f（x，y）-A|<ε
成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作
或f（x，y）→A（（x，y）→（x0，y0）），
也记作
或f（P）→A（P→P0）.
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限.
必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在.
关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则.
==连续性==
如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处极限存在且为f（x0，y0），即有
，则称函数f（x，y）在P0（x0，y0）处连续.
如果函数f（x，y）在区域D内的每一点处都连续，则称函数f（x，y）在D内连续.
一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.
在有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
在有界闭区域D上的二元连续函数必定在D上一致连续.
设D为f（x，y）的定义区域，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的任意两点P1、P2，只要当|P1P2|<δ时，都有|f（P1）-f（P2）|<ε，则称f（x，y）在D上一致连续.
令二元函数z=f（x，y）的自变量y保持定值y0，这时z就成为自变量x的一元函数.如果这个一元函数z=f（x，y0）在x0处的微商存在，则称此微商为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏微商（或偏导数），记作fx（x0，y0），或记作
zx（x0，y0）， .
==全微分==
设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，若自变量x与y各有增量△x与△y，则称
△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）
为函数f（x，y）在点（x0，y0）的全增量.
如果存在常数A与B，使得函数在点（x0，y0）的全增量△z可以表示为
△z=A△x+B△y+o（ρ）（ρ→0），
其中ρ=
，则称A△x+B△y为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的全微分，记作
或df（x0，y0），
这时称函数z在点（x0，y0）处可微.
若函数在区域D内任一点处都可微，则称函数在D内是可微的.
若函数f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则函数f（x，y）在点（x0，y0）处的两个偏微商都存在，并且
其中A，B是全微分定义中的常数.
若函数z=f（x，y）的两个偏微商在点（x0，y0）处连续，则函数f（x，y）在点（x0，y0）处可微.
==几何意义==
设M0（x0，y0，f（x0，y0））为曲面z=f（x，y）上的一点，过M0作平面y=y0，截此曲面得一曲线，此曲线在平面y=y0上的方程为z=f（x，y0），则导数
，即偏导数fx（x0，y0），就是这曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.
== 参考来源 ==
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