| style="background: #66CCFFFF2400" align= center| '''<big>最小值</big>'''|-|<center><img src=https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fp0.itc.cn%2Fc_cut%2Cx_75%2Cy_0%2Cw_810%2Ch_540%2Fimages01%2F20200602%2F979c9fc4a8ee40efb176dd55790a12be.png&refer=http%3A%2F%2Fp0.itc.cn&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1657491164&t=a525f54379feecd048f89228e5503819 width="300"></center><small>[https://image.baidu.com/search/detail?ct=503316480&z=0&ipn=d&word=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC&step_word=&hs=0&pn=62&spn=0&di=7084067677328637953&pi=0&rn=1&tn=baiduimagedetail&is=0%2C0&istype=0&ie=utf-8&oe=utf-8&in=&cl=2&lm=-1&st=undefined&cs=1622188852%2C420347948&os=3843382573%2C2246132353&simid=1622188852%2C420347948&adpicid=0&lpn=0&ln=1892&fr=&fmq=1654899137086_R&fm=&ic=undefined&s=undefined&hd=undefined&latest=undefined&copyright=undefined&se=&sme=&tab=0&width=undefined&height=undefined&face=undefined&ist=&jit=&cg=&bdtype=0&oriquery=&objurl=https%3A%2F%2Fgimg2.baidu.com%2Fimage_search%2Fsrc%3Dhttp%3A%2F%2Fp0.itc.cn%2Fc_cut%2Cx_75%2Cy_0%2Cw_810%2Ch_540%2Fimages01%2F20200602%2F979c9fc4a8ee40efb176dd55790a12be.png%26refer%3Dhttp%3A%2F%2Fp0.itc.cn%26app%3D2002%26size%3Df9999%2C10000%26q%3Da80%26n%3D0%26g%3D0n%26fmt%3Dauto%3Fsec%3D1657491164%26t%3Da525f54379feecd048f89228e5503819&fromurl=ippr_z2C%24qAzdH3FAzdH3Fooo_z%26e3Bf5i7_z%26e3Bv54AzdH3FwAzdH3Fnll8l98lb_9n80db&gsm=3b&rpstart=0&rpnum=0&islist=&querylist=&nojc=undefined&dyTabStr=MCwyLDMsNSwxLDQsNiw4LDcsOQ%3D%3D 来自 呢图网 的图片]</small>|-| style="background: #FF2400" align= center| '''<big></big> '''

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|- | style="background: #66CCFF" align= center|中文名称；最小值

在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和'''最小值'''被统称为极值（极数）。 [[ 皮埃尔·费马特 ]] （Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的 [[ 元素 ]] 。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。<ref>[ https://wenda.so.com/q/1537114011219120 最小值是什么?], 360问答 , --2018年2月1日</ref>

在数学 [[ 分析 ]] 中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的 [[ 最大值 ]] 和最小值的数学家之一。如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如 [[ 实数 ]] 集合，没有最小值或最大值。

如果域X是 [[ 度量空间 ]] ，那么如果存在 ，函数具有局部最小点。当X是拓扑空间时，可以使用类似的定义，因为刚才给出的定义可以根据邻域进行重新表述。

具有紧凑域的连续实值函数总是具有最大点和最小点。一个重要的例子是其域是实数的闭（有界）间隔的函数 （见图1） 。

找到全局最大值和最小值是数学优化的 [[ 目标 ]] 。如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或者必须位于域的边界上。因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小）一个。费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在 [[ 临界点 ]] 。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。对于分段定义的任何 [[ 功能 ]] ，通过分别查找每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

（2）函数 为0，但这是一个 [[ 拐点 ]] 。

（4）函数 。将一阶 [[ 导数 ]] 设置为0并求解x给出在-1和+1的平稳点。从二阶导数的符号，我们可以看到-1是局部最大值，+1是局部最小值。请注意，此函数没有全局最大值或最小值。

对于多个变量的函数，也适用相似的条件。例如，在下侧的（可放大）图2中，局部最大值的必要 [[ 条件 ]] 与仅具有一个变量的函数的条件相似。关于z（要最大化的变量）的第一个偏导数在最大值为零（图2中顶部的发光点）。第二偏导数为负。由于可能存在鞍点，这些只是局部最大值的必要条件。为了使用这些条件来求解最大值，函数z也必须是可以区分的。第二个偏导数测试可以帮助将点分类为相对最大值或相对最小值。相比之下，在全局极值识别中，一个变量的函数和多个变量的函数之间存在实质性差异。例如，如果在实线上的闭合间隔上定义的有界可微分函数f具有单个临界点（这是局部最小值），则它也是全局最小值（使用中间值定理和Rolle定理来证明这一点））。作为函数 [[ 显示 ]] 。 其唯一的关键点是（0,0），这是ƒ（0,0）= 0的局部最小值。但是，它不是全局的，因为ƒ（2,3）= -5。

也可以为集合定义最大值和最小值。一般来说，如果有序集S具有最大的 [[ 元 素m 素]]m ，则m是最大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的最大元素，则m是T中S的最小上限。类似的结果适用于最小元素，最小元素和最大的下限。在一般的部分 [[ 顺序 ]] 的情况下，最小元素（小于所有其他元素）不应该与最小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的最大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的最大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。元素的最小元素或最大元素是唯一的，但是poset可以具有几个最小或最大元素。如果一个poset有多个最大元素，那么这些元素将不会相互比较。在完全有序的集合或链中，所有元素都是相互可比的，所以这样的集合可以具有至多一个最小元素和最多一个最大元素。然后，由于相互的可比性，最小元素也将是最小元素，最大元素也将是最大的元素。因此，在一个完全有序的集合中，我们可以简单地使用最小和最大值。如果链条是有限的，那么它总是具有最大值和最小值。如果一个链是无限的，那么它不需要最大或最小。例如， [[ 自然数 ]] 的集合没有最大值，尽管它具有最小值。如果无限链S有界，则集合的闭包Cl（S）偶尔具有最小值和最大值，在这种 [[ 情况 ]] 下，它们分别称为集合S的 [[ 最大下限 ]] 和 [[ 最小上限 ]] 。

<center>{{reflist#iDisplay:e08812r02ef|480|270|qq}}<center>最小值是多少？思路很关键，解题有技巧！</center></center>== 参考资料 ==

[[Category: 990 遊藝及休閒活動總論]]