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周期函数
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| style="background: #66CCFFFF2400" align= center| '''<big>周期函数</big>'''|-|<center><img src=https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com%2Ffileroot_temp2%2F2020-3%2F16%2F505649e9-64f3-4887-980e-cab6c44baf5e%2F505649e9-64f3-4887-980e-cab6c44baf5e1.gif&refer=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1657490393&t=735359b94efdf2db3c95a2730009ce0c width="300"></center><small>[https://image.baidu.com/search/detail?ct=503316480&z=0&ipn=d&word=%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0&step_word=&hs=0&pn=12&spn=0&di=7084067677328637953&pi=0&rn=1&tn=baiduimagedetail&is=0%2C0&istype=0&ie=utf-8&oe=utf-8&in=&cl=2&lm=-1&st=undefined&cs=3883496524%2C3988316062&os=1069258878%2C3151310406&simid=3883496524%2C3988316062&adpicid=0&lpn=0&ln=1657&fr=&fmq=1654898390722_R&fm=&ic=undefined&s=undefined&hd=undefined&latest=undefined©right=undefined&se=&sme=&tab=0&width=undefined&height=undefined&face=undefined&ist=&jit=&cg=&bdtype=0&oriquery=&objurl=https%3A%2F%2Fgimg2.baidu.com%2Fimage_search%2Fsrc%3Dhttp%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com%2Ffileroot_temp2%2F2020-3%2F16%2F505649e9-64f3-4887-980e-cab6c44baf5e%2F505649e9-64f3-4887-980e-cab6c44baf5e1.gif%26refer%3Dhttp%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com%26app%3D2002%26size%3Df9999%2C10000%26q%3Da80%26n%3D0%26g%3D0n%26fmt%3Dauto%3Fsec%3D1657490393%26t%3D735359b94efdf2db3c95a2730009ce0c&fromurl=ippr_z2C%24qAzdH3FAzdH3Fooo_z%26e3B6jg6jg15v_z%26e3Bv54AzdH3Frwrj6AzdH3Flmda88a0_z%26e3Bip4s&gsm=d&rpstart=0&rpnum=0&islist=&querylist=&nojc=undefined&dyTabStr=MCwyLDMsNCw1LDYsMSw3LDgsOQ%3D%3D 来自 呢图网 的图片]</small>|-| style="background: #FF2400" align= center| '''<big></big> '''
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|[[File:align= light| 缩略图|居中|[ 原图链接]]]
判定定理；5条
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对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取 [[ 定义域 ]] 内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做'''周期函数'''，不为零的常数T叫做这个函数的 [[ 周期 ]] 。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。<ref>[ ], , --</ref>
==定义==
设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有 [[ 性质 ]] ：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有 [[ 最小正周期 ]] ，譬如狄利克雷函数。
==性质==
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是 [[ 无理数 ]] ，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
∵T*是f（x）的周期，∴对 有X±T* 且f（x+T*）= f（x），∴K f（x）+C=K f（x+T*）+C，
∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的 [[ 周期函数 ]] 。
假设T* 不是Kf（x）+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的周期，则对T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的周期，有K f（x+T’）+C=K f（x） +C ，K[f（x+T’）- f（x）]=0，∵K≠0，∴f（x+T’）- f（x）=0，∴f（x+T’）= f（x），
设T是u=g（x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））
∴=f（g（x））是M1上的 [[ 周期函数 ]] 。
例1
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的 [[ 常数 ]] 矛盾，
∴cos 不是周期函数。
tg2 是以T3=为最小正周期的周期函数。
又都是 [[ 有理数]]
∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。
∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是 [[ 周期函数 ]] 。
==判定方法==
例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。
（3）一般用反证法 [[ 证明 ]] 。（若f（x）是周期函数，推出 [[ 矛盾 ]] ，从而得出f（x）是非周期函数）。
例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。
例：证f（x）= ax+b是非周期函数。
证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x） [[ 矛盾 ]] ，∴f（x）是非周期函数。
== 参考来源 ==
<center>
{{#iDisplay:n0309oy4v94|480|270|qq}}
<center>周期函数的概念</center>
</center>
== 参考资料 ==