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燕尾定理

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[[File:T016aea950f73da4524.jpg|缩略图|居中|[https://p1.ssl.qhimg.com/t016aea950f73da4524.jpg 原图链接][https://baike.so.com/gallery/list?ghid=first&pic_idx=1&eid=5328726&sid=5563898 来自 360 的图片]]]
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燕尾定理:在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,有 S△AOB∶S△AOC=BD∶CD S△AOB∶S△COB=AE∶CE S△BOC∶S△AOC=BF∶AF 因此图类似[[燕尾]]而得名。是五大模型之一,是一个关于平面[[三角形]]的定理,俗称[[燕尾定理]]。
=='''基本信息'''==
中文名;
三角定理

外文名;
Dovetail theorem

别称;
燕尾定理

表达式;
BF:FC=S△BFD:S△FDC=S△ABD:S△ADC

应用学科;
数学

适用领域范围;
平面三角形图形

名称由来;
因图类似[[燕尾]]

验证推导;
证法1:下面的是第一种方法:[[利用]]分比性质(若a÷b=c÷d,则(a-b)÷b=(c-d)÷d,b≠0,d≠0,)

注:∵(a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,

(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,

a/b=c/d

∴(a-b)÷b=(c-d)÷d

∵△ABD与△ACD同高


∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD

利用分比性质,得

S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD

即S△AOB:S△AOC=BD:CD

命题得证。

(由此可得:若X:Y=a∶b,X1∶Y1=a∶b;则(X±X1)∶(Y±Y1)=a∶b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1)

证法2:相似三角形法

已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

求证:AE=CE 证明:

过点O作MN∥BC,,交AB于点M,AC于点N;

过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD

∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD

∴MO:BD=NO:CD

∵AD是△ABC的一条中线

∴BD=CD

∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF

∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF

∴PO:BF=QO:AF

∵CF是△ABC的一条中线

∴AF=BF

∴PO=QO

∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO

∴△MOP≌△NOQ(SAS)

∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)

∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE

∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE

∴MR:AE=PR:CE

∵MN∥BC,PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行[[四边形]]

∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)

∴AE=CE

概要:利用共边三角形性质作共有边上的高,由相似比相等得证.

证法3

下面的是第三种方法:[[面积法]]

已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

求证:AE=CE

证明:

如图,

∵点D是BC的中点,点F是AB的中点

∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD

∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD

即S△AOC(绿) = S△AOB(红)

∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF

∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF

即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝)

∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝)

∵S△AOE:S△AOB(红) = OE:OB,S△COE:S△BOC(蓝) = OE:OB

∴S△AOE:S△AOB(红) = S△COE:S△BOC(蓝)

∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝)

∴S△AOE = S△COE

∴AE=CE

命题得证。

证法4

下面的是第四种方法:[[中位线法]]

已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

求证:AE=CE

证明:

如图,延长OE到点G,使OG=OB。

∵OG=OB

∴点O是BG的中点

又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线

∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)

∵点O是BG的中点,点F是AB的中点

∴OF是△BGA的一条中位线

∴CF∥AG

∵AD∥CG,CF∥AG

∴四边形AOCG是平行[[四边形]]

∴AC、OG互相平分

∴AE=CE

命题得证。

证法5:因为ABCO是凹四边形,根据共边比例定理,[[命题得证]]
=='''定理推广'''==
四边形ABCD(不一定是凸四边形),设AC,BD相交于E则有BE :DE=S△ABC ∶S△ADC

证明:∵S△ABC=S△ABE+S△BEC

S△ADC=S△AED+S△CED.

又∵S△ABE∶S△AED=S△BEC∶S△CED=BE∶ED(∵高相等). ∴S△ABE+S△BEC:S△AED+S△CED=S△ABC∶:S△ADC=BE:ED

此定理是面积法最重要的定理之一。<ref>[https://wenda.so.com/q/1537562231218376  燕尾定理是什么?], 360问答 , 2019.10.14</ref>
=='''参考文献'''==
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