== 清贫少年 ==

1823年当阿贝尔的第一篇论文发表后，他的朋友便力请挪威政府资助他到德国及法国进修。当等待政府回复时，在1824年他发表了他的《一元五次方程没有代数一般解》的论文，渴望为他带来肯定地位。他把论文寄了给当时有名的数学家高斯，可惜高斯错过了这篇论文，也不知道这个著名的代数难题已被解破。

1825-26年的冬季，他远赴柏林，并认识了克列尔（Crelle）。克列尔是个土木工程师，而且对数学很有热诚，他跟阿贝尔成为很要好的朋友。1826年，在阿贝尔的鼓励下，克列尔创立了一份纯数学和应用数学杂志（Journal für die reine und angewandte Mathematik），该杂志的第一期便刊登了阿贝尔在五次方程的工作成果，另外还有方程理论、泛函方程及理论力学等的论文。在柏林，新的数学向导使他继续独立地进行研究工作，後来阿贝尔更到了欧洲不同的地方。

1826年夏天，他在巴黎造访了当时最顶尖的数学家，并且完成了一份有关超越函数的研究报告。这些工作展示出一个代数函数理论，现称为阿贝尔定理，而这定理也是後期阿贝尔积分及阿贝尔函数的理论基础。他在巴黎被冷落对待，他曾经把他的研究报告寄去科学学院，望可得到好评，但他的努力也是徒然。他在离开巴黎前染顽疾，最初只以为只是感冒，后来才知道是肺结核病。

他辗转回到挪威，但欠下不少钱债。他只好靠教书及收取大学的微薄津贴为生。在1828年，他找到一份代课教师之职来维持生计。但他的穷困及病况并没有减低他对数学的热诚，他在这段期间写了大量的论文，主要是方程理论及椭圆函数，也就是有关阿贝尔方程和阿贝尔群的理论。他比雅可比（Jacobi）更快完全了椭圆函数的理论。此时，阿贝尔的名声经已响遍所有的数学中心，各方面的人也希望为他找到一个适当的教授席位，当中克列尔便希望为他在柏林找得一个教授席位。

在1828年冬天，阿贝尔的病逐渐严重起来。在他圣诞节去芬罗兰（Froland）探他的未婚妻克莱利·肯姆普（Crelly Kemp）期间，病情便更恶化。到1829年1月时，他已知自己寿命不长，出血的症状已无法否认。直至1829年4月6日凌晨，阿贝尔去世了，他的未婚妻坚持不要他人之助照顾阿贝尔，“单独占有这最後的时刻”。

阿贝尔去世后，他的老师霍尔姆伯于1839年为他出版了文集。