黎曼幾何

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。

黎曼幾何與以下主題有關：

1. 度量張量
2. 黎曼流形
3. 列維-奇維塔聯絡
4. 曲率
5. 曲率張量

參看：

1. 微分幾何主題列表
2. 黎曼及度量幾何詞表

目錄

黎曼幾何古典理論

下面給出部分的黎曼幾何古典理論。

一般理論

1. 高斯-博內定理：緊緻二維黎曼流形上高斯曲率的積分等於<math>2\pi\chi(M)</math>這裡的<math>\chi(M)</math>記作M的歐拉示性數。
2. 納什嵌入定理（兩個）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rⁿ.

理論

所有給出的定理中，都將用用空間的局部行為（通常用曲率假設表述）來推出空間的整體結構的一些信息，包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關係。

受限截面曲率

1. 1/4-受限 球定理.若M是完備n-維黎曼流形，其截面曲率嚴格限制於1和4之間，則M同胚於n-球。

1. Cheeger's有限定理.給定常數C和D，只有有限個（微分同胚的流形算作一個）緊n-維黎曼流形，其截面曲率<math>|K|\le C</math>並且直徑<math>\le D</math>。

1. Gromov的幾乎平坦流形.存在一個<math>\epsilon_n>0</math>使得如果一個n-維黎曼流形其度量的截面曲率<math>|K|\le \epsilon_n</math>且直徑<math>\le 1</math>，則其有限覆蓋微分同胚於一個零流形.

正曲率

正截面曲率

1. 靈魂定理若M是一個不緊的完備正曲率n-維黎曼流形，則它微分同胚於Rⁿ.
2. Gromov的貝蒂數定理有一個常數C=C(n)使得若M是一個由正截面曲率的緊連通n-維黎曼流形，則它的貝蒂數之和不超過C.

正里奇曲率

1. Myers定理.若一個緊黎曼流形有正Ricci曲率則它的基本群有限。

1. 分裂定理.若一個完備的n-維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線（在任何區間上的距離都極小的測地線）則它等度同胚於一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備(n-1)-維黎曼流形的直積。

1. Bishop's不等式.半徑為r的球在一個有正Ricci曲率的完備n-維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。

1. Gromov's緊緻性定理.所有正Ricci曲率且直徑不超過D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿緊的。

數量曲率

1. n-維環不存在有正數量曲率的度量。

1. 若一個緊n-維黎曼流形的單射半徑<math>\ge \pi</math>，則數量曲率的平均值不超過n（n-1）。

負曲率

負截面曲率

1. 任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。

1. 若M是一個有負截面曲率的完備黎曼流形，則基本群的任何可交換子群同構於整數群Z。

1. 設V^*是一<math>\mathbb{R}</math>-rank<math>\geq</math>2的緊緻不可約局部對稱空間，設V是一截面曲率<math>K\leq 0</math>的緊緻<math>C^{\infty}</math>黎曼流形，若<math>vol(V)=vol(V^*)</math>，且<math>\pi_1(V)=\pi_1(V^*)</math>，則<math>V</math>與<math>V^*</math>等距。

負里奇曲率

1. 任何有負里奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有負里奇曲率的黎曼度量。

參考文獻

• Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
• Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)