高斯-博内定理
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定理内容
设<math>M</math>是一个紧的二维黎曼流形，<math>\partial M</math>是其边界。令<math>K</math>为<math>M</math>的高斯曲率，<math>k_g</math>为<math>\partial M</math>的测地曲率。则有
- <math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \, </math>
其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处<math>\chi(M)</math>是<math>M</math>的欧拉示性数。
如果<math>\partial M</math>的边界是分段光滑的，我们将<math>\int_{\partial M}k_g\;ds</math>视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。
一般化的高斯-博内定理
广义高斯-博内定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立于偶数维数的闭黎曼流形。在偶数维数的闭黎曼流形，欧拉示性数仍然可以表达为曲率多项式的积分。
公式：
<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>。
这是对于高维空间的直接推广。
例如在四维空间：
<math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu</math>
二维高斯-博内定理的操作式证明
陈省身大师曾给出高维里高斯-博内定理的一个内蕴证明。