高斯-博內定理
目錄
定理內容
設<math>M</math>是一個緊的二維黎曼流形，<math>\partial M</math>是其邊界。令<math>K</math>為<math>M</math>的高斯曲率，<math>k_g</math>為<math>\partial M</math>的測地曲率。則有
- <math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \, </math>
其中dA是該曲面的面積元，ds是M邊界的線元。此處<math>\chi(M)</math>是<math>M</math>的歐拉示性數。
如果<math>\partial M</math>的邊界是分段光滑的，我們將<math>\int_{\partial M}k_g\;ds</math>視作光滑部分相應的積分之和，加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。
一般化的高斯-博內定理
廣義高斯-博內定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立於偶數維數的閉黎曼流形。在偶數維數的閉黎曼流形，歐拉示性數仍然可以表達爲曲率多項式的積分。
公式：
<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>。
這是對於高維空間的直接推廣。
例如在四維空間：
<math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu</math>
二維高斯-博內定理的操作式證明
陳省身大師曾給出高維裡高斯-博內定理的一個內蘊證明。