隨機微分方程

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隨機微分方程是全國科學技術名詞審定委員會審定、公布的專有文化術語。

歷史名詞是歷史上曾出現的事件及事物的名稱，例如「禪讓」，傳說古代實行舉薦賢能之人為首領繼承人的一種制度，據文獻記獻：有堯舉舜、舜舉禹、禹先舉皋陶、皋陶死禹又舉益等歷史故事。

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名詞解釋

隨機微分方程是20世紀中葉發展起來的一個學科.係數為隨機量的常微分方程和由隨機過程驅動的微分系統，一般稱為隨機微分方程.又因為前者可以直接地處理為隨機參數的常微分方程，所以，通常的隨機微分方程常常專門指後者.由於快速變化的噪聲可以用Brown運動建模，也由於這方面的理論研究成果已經很充分，處理形式也相對地簡單，並且在實際中也更多地出現，所以人們更關注於以Brown運動為驅動的隨機微分方程，研究它的基本性質，利用它來建模.例如，在金融系統、數量經濟、控制系統、統計物理、系統生物學中都常見到這樣的模型.理論的發展與應用的需要就形成了以Ito積分為核心的Ito隨機分析的學科.另一方面，由於隨機驅動中突變的發生，人們又引入了以Poisson點過程為驅動的隨機分析，稱為Poisson隨機分析.這兩種最典型的模型，相對地又具有許多使用方便的性質，特別地，鞅論的成果為此提供了有力的數學工具.

在統計物理中，人們是通過求解Master方程和 Fokker?Plank方程得到系統狀態的概率密度和狀態轉移的概率密度，由此了解系統的時間發展的.事實上，僅有這樣的理解是片面的.要想了解隨機系統的時間發展，更需要將狀態按時間的發展作為隨機試驗的基本結果進行概率和統計研究，這就是隨機過程的軌道.因為描寫轉移的統計概率規律的參數通常是不知道的，所以，只知道系統在固定時間的統計規律和狀態轉移的統計規律常常是不夠的，這時就需要通過實驗的結果統計地推定，即作統計估計.為此就需要用隨機過程的一段足夠長時間的現實，即軌道數據，來估值.這種用隨機過程的一個軌道表示過程的特徵參數的性質，就是用時間平均近似空間平均的性質，統計物理學家通常稱之為遍歷性質.統計物理的基礎之一就是假定系統的發展具有遍歷性質.然而如果進一步追溯，什麼樣的模型能具有遍歷性質呢? 統計物理中忽視了這一方面的闡述與研究.而用Markov過程與隨機微分方程的理論可以完美地回答這個問題.這個理論說明在很寬鬆的條件下，用隨機過程的一個軌道表示過程的特徵參數是完全可能的.由此可見，了解隨機過程的精髓就要了解系統模型的狀態的時間發展，即隨機過程的軌道的研究.在這方面隨機微分方程提供了一個強大的模型與有力的工具.