阿基米德折弦定理

阿基米德中点定理

原图链接

中文名: 阿基米德折弦定理 外文名: Archimedes' Theorem of the Broken Chord 提出者: 阿基米德 适用领域: 几何 应用学科: 数学

阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

AB和BC组成圆的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB，垂点为F。则AF=BF+BC。

目录

定理定义

如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

验证推导

该定理常规的证明方法有以下三种：

方法1：补短法

如图2，延长DB至F，使BF=BA

∵M是弧ABC的中点

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵MBAC四点共圆

∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2：截长法

如图3，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是弧ABC的中点

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

又∠MGB=∠MCB+∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC（SAS）

∴AB=GC

∴CD=CG+GD=AB+BD

方法3：垂线法

如图4，作MH⊥射线AB，垂足为H。

∵M是弧ABC的中点

∴MA=MC

∵MD⊥BC

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB

∴△MHA≌△MDC（AAS）

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB（HL）

∴HB=BD

∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

推论1

推论1：设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC*AB

证明：如图5，作MD⊥BC，由勾股定理得

MC²=CD²+MD²

MB²=BD²+MD²

∴MC²-MB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB

推论2

推论2：设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外。连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB*BC

证明：如图6，取弧ABC的中点N，连接MN

由推论1可知AB*BC=NC²-NB²

∵M是弧AC的中点，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧AC/2

且弧ABC+弧AMC=圆周360°

∴弧CN+弧CM=弧MN=180°

∴MN是直径

∵C、B在圆上

∴∠MCN=∠MBN=90°

勾股定理得NC²+MC²=NB²+MB²=MN²

∴NC²-NB²=MB²-MC²=AB*BC

逆定理

设D是△ABC边BC上一点，且AB+BD=CD。作△ABC的外接圆，有如下逆定理：

逆定理1

取弧ABC的中点M，连接MD，则MD⊥BC。

证明：不妨作MD‘⊥BC于D’，根据定理有AB+BD‘=CD’

∵AB+BD=CD

∴CD'-BD'=CD-BD=AB

∴D与D'重合

∴MD⊥BC

逆定理2

作DM⊥BC交弧ABC于M，则M是弧ABC的中点。

证明：不妨取弧ABC中点M'，由逆定理1可知M'D⊥BC

∵MD⊥BC，且M在弧ABC上

∴M与M’重合

∴M是弧ABC的中点