阿基米德折弦定理

阿基米德中點定理

原圖鏈接

中文名: 阿基米德折弦定理 外文名: Archimedes' Theorem of the Broken Chord 提出者: 阿基米德 適用領域: 幾何 應用學科: 數學

阿基米德折弦定理：一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。

AB和BC組成圓的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中點，MF⊥AB，垂點為F。則AF=BF+BC。

目錄

定理定義

如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD。

定義：從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

驗證推導

該定理常規的證明方法有以下三種：

方法1：補短法

如圖2，延長DB至F，使BF=BA

∵M是弧ABC的中點

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵MBAC四點共圓

∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2：截長法

如圖3，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是弧ABC的中點

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

又∠MGB=∠MCB+∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC（SAS）

∴AB=GC

∴CD=CG+GD=AB+BD

方法3：垂線法

如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵MD⊥BC

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB

∴△MHA≌△MDC（AAS）

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB（HL）

∴HB=BD

∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

推論1

推論1：設M是弧AC的中點，在弧AM上取一點B，連接AB、MB、MC、BC，那麼MC²-MB²=BC*AB

證明：如圖5，作MD⊥BC，由勾股定理得

MC²=CD²+MD²

MB²=BD²+MD²

∴MC²-MB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB

推論2

推論2：設M是弧AC的中點，B在圓上，且在弧AMC外。連接AB、AC、MB、MC，那麼MB²-MC²=AB*BC

證明：如圖6，取弧ABC的中點N，連接MN

由推論1可知AB*BC=NC²-NB²

∵M是弧AC的中點，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧AC/2

且弧ABC+弧AMC=圓周360°

∴弧CN+弧CM=弧MN=180°

∴MN是直徑

∵C、B在圓上

∴∠MCN=∠MBN=90°

勾股定理得NC²+MC²=NB²+MB²=MN²

∴NC²-NB²=MB²-MC²=AB*BC

逆定理

設D是△ABC邊BC上一點，且AB+BD=CD。作△ABC的外接圓，有如下逆定理：

逆定理1

取弧ABC的中點M，連接MD，則MD⊥BC。

證明：不妨作MD『⊥BC於D』，根據定理有AB+BD『=CD』

∵AB+BD=CD

∴CD'-BD'=CD-BD=AB

∴D與D'重合

∴MD⊥BC

逆定理2

作DM⊥BC交弧ABC於M，則M是弧ABC的中點。

證明：不妨取弧ABC中點M'，由逆定理1可知M'D⊥BC

∵MD⊥BC，且M在弧ABC上

∴M與M』重合

∴M是弧ABC的中點