素環

素環是一類重要的環。若環R的零理想是素理想，則稱R為素環。整環、單環、本原環都是素環。素環與素理想有如下關係：P是R的素理想當且僅當R/P是素環。^[1]

簡介

設 R 為環，P 為 R 的理想。若對於 R 的任意理想，則稱 P 為 R 的一個素理想（prime ideal）。若零理想是環 R 的素理想，則稱 R 為一個素環。例：非交換整環、單環、（左或右）本原環為素環。

若環 R 的理想 Q 滿足：對於使得，則稱 Q 是 R 的半素理想。若 R 的零理想是半素理想，則稱 R 為半素環（semiprime ring）。環 R 為半素環當且僅當 R 為素環當次直積，當且僅當 R 中所有素理想的交為零。

若局部環R的雅各布森根是冪零的，則稱R為完全准素環（completely primary ring）。完全准素環R上的全矩陣環稱為準素環。若半局部環R的雅各布森根是冪零的，則稱R為半准素環（semiprimary ring）。幺環R為左阿廷環當且僅當它既是左諾特又是半准素環。

准素環是接近素環的特殊環類。一個有單位元的交換環R，若它最多含一個素理想P，則稱R為準素環。

例如，域是准素環。

若交換環R的准素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想，則R/Q也是准素環。任意滿足降鏈條件的有1交換環R，可惟一分解為諾特准素環的直和。

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