相空間

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相空間在數學與物理學中，是一個用以表示出一系統所有可能狀態的空間；系統每個可能的狀態都有一相對應的相空間的點。

相空間是一個六維假想空間，其中動量和空間各占三維。每個相格投影到px-x平面上後面積總是h。儘管相格的形狀圖可能十分任意，但我們可以把它們想象為方的或長方的。

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按方程方法

我們如何按照相空間來摹想哈密頓方程呢？首先，我們要記住相空間的單獨的點Q實際代表什麼。它代表所有位置坐標x1，x2，…和所有動量坐標p1，p2，…的一種特別的值。也就是說，Q表示我們整個物理系統，指明組成它的所有單獨粒子的特定的運動狀態。當我們知道它們現在的值時，哈密頓方程告訴我們所有這些坐標的變化率是多少，亦即它控制所有單獨的粒子如何移動。

翻譯成相空間語言，該方程告訴我們，如果給定單獨的點Q在相空間的現在位置的話，它將會如何移動。為了描述我們整個系統隨時間的變化，我們在相空間的每一點都有一個小箭頭，更準確地講，一個矢量，它告訴我們Q移動的方式。

這整體箭頭的排列構成了所謂的矢量場。哈密頓方程就這樣地在相空間中定義了一個矢量場。

決定論

我們看看如何按照相空間來解釋物理的決定論。對於時間t=0的初始數據，我們有了一組指明所有位置和動量坐標的特定值；也就是說，我們在相空間特別選定了一點Q。為了找出此系統隨時間的變化，我們就跟着箭頭走好了，這樣，不管一個系統如何複雜，該系統隨時間的整個演化在相空間中僅僅被描述成一點沿着它所遭遇到的特定的箭頭移動。

「長」的箭頭表明Q移動得快，而「短」的箭頭表明Q的運動停滯。只要看看Q以這種方式隨着箭頭在時間t移動到何處，即能知道我們物理系統在該時刻的狀態。很清楚，這是一個決定性的過程。Q移動的方式由哈密頓矢量場所完全決定。

系統演化

哈密頓方程的形式允許我們以一種非常強而有力的一般方式去「摹想」經典系統的演化。想象一個多維「空間」，每一維對應於一個坐標x1，x2，…p1，p2，…（數學空間的維數，通常比3大得多。）此空間稱之為相空間。對於n個無約束的粒子。相空間就有6n維（每個粒子有三個位置坐標和三個動量坐標）。讀者或許會擔心，甚至只要有一個單獨粒子，其維數就是他或她通常所能摹想的二倍！不必為此沮喪！儘管六維的確是能比明了畫出的更多的維數，但是即使我們真的把它畫出也無太多用處。僅僅就一滿屋子的氣體，其相空間的維數大約就有10，000，000，000，000，000，000，000，000，000

去準確地摹想這麼大的空間是沒有什麼希望的！既然這樣，秘訣是甚至對於一個粒子的相空間都不企圖去這樣做。只要想想某種含糊的三維（或者甚至就只有二維）的區域，再看看圖就可以了。

可計算性

關於可計算性又如何呢？如果我們從相空間中的一個可計算的點（亦即從一個其位置和動量坐標都為可計算數的點）出發，並且等待可計算的時間t，那麼一定會終結於從t和初始數據計算得出的某一點嗎？答案肯定是依賴於哈密頓函數H的選擇。實際上，在H中會出現一些物理常數，諸如牛頓的引力常數或光速--這些量的準確值視單位的選定而被決定，但其他的量可以是純粹數字--並且，如果人們希望得到肯定答案的話，則必須保證這些常數是可計算的數。如果假定是這種情形，那我的猜想是，答案會是肯定的。這僅僅是一個猜測。然而，這是一個有趣的問題，我希望以後能進一步考察之。

另一方面，由於類似於我在討論有關撞球世界時簡要提出的理由，對我來說，這似乎不完全是相關的問題。為了使一個相空間的點是不可計算的斷言有意義，它要求無限精確的坐標??亦即它的所有小數位！（一個由有限小數描述的數總是可以計算的。）一個數的小數展開的有限段不能告訴我們任何關於這個數整個展開的可計算性。但是，所有物理測量的精度都是有限的，只能給出有限位小數點的信息。在進行物理測量時，這是否使「可計算數」的整個概念化成泡影？」

的確，一個以任何有用的方式利用某些物理定律中（假想的）不可計算因素的儀器不應依賴於無限精確的測量。也許我在這裡有些過分苛刻了。假定我們有一台物理儀器，為了已知的理論原因，模擬某種有趣的非算法的數學過程。如果此儀器的行為總可以被精密地確定的話，則它的行為就會給一系列數學上有趣的沒有算法的是非問題以正確答案。任何給定的算法都會到某個階段失效。而在那個階段，該儀器會告訴我們某些新的東西。該儀器也許的確能把某些物理常數測量到越來越高的精度。而為了研究一系列越來越深入的問題，這是需要的。然而，在該儀器的有限的精度階段，至少直到我們對這系列問題找到一個改善的算法之前，我們得到某些新的東西。然而，為了得到某些使用改善了的算法也不能告訴我們的東西，就必須乞求更高的精度。

儘管如此，不斷提高物理常數的精度看來仍是一個棘手和不盡人意的信息編碼的方法。以一種分立（或「數字」）形式得到信息則好得多。如果考察越來越多的分立單元，也可重複考察分立單元的固定集合，使得所需的無限的信息散開在越來越長的時間間隔里，因此能夠回答越來越深入的問題。（我們可以將這些分立單元想象成由許多部分組成，每一部分有「開」和「關」兩種狀態，正如在第二章描述的圖靈機的0和1狀態一樣。）為此看來我們需要某種儀器，它能夠（可區別地）接納分立態，並在系統按照動力學定律演化後，又能再次接納一個分立態集合中的一個態。如果事情是這樣的話，則我們可以不必在任意高的精度上考察每一台儀器。

行為

那麼，哈密頓系統的行為確實如此嗎？某種行為的穩定性是必須的，這樣才能清晰地確定我們的儀器實際上處於何種分立態。一旦它處於某狀態，我們就要它停在那裡（至少一段相當長的時間），並且不能從此狀態滑到另一狀態。不但如此，如果該系統不是很準確地到達這些狀態，我們不要讓這種不準確性累積起來；我們十分需要這種不準確性隨時間越變越小。我們現在設想的儀器必須由粒子（或其他子元件）所構成。需要以連續參數來描述粒子，而每一個可區別的「分立」態覆蓋連續參數的某個範圍。（例如，讓粒子停留在二個盒子中的一個便是一種表達分立雙態的方法。為了指明該粒子確實是在某一個盒子中，我們必須斷定其位置坐標在某個範圍之內。）用相空間的語言講，這表明我們的每一個「分立」的態必須對應於相空間的一個「區域」，同一區域的相空間點就對應於我們儀器的這些可選擇的同一態。

現在假定儀器在開始時的態對應於它的相空間中的某一個範圍R0。我們想象R0隨着時間沿着哈密頓矢量場被拖動，到時刻t該區域變成Rt。在畫圖時，我們同時想象對應於同一選擇的所有可能的態的時間演化。關於穩定性的問題（在我們感興趣的意義上講）是，當t增加時區域Rt是否仍然是定域性的，或者它是否會向相空間散開去。如果這樣的區域在時間推進時仍是定域性的，我們對此系統就有了穩定性的量度。在相空間中相互靠近的點（這樣它們對應於相互類似的系統的細緻的物理態）將繼續靠得很近，給定的態的不準確性不隨時間而放大。任何不正常的彌散都會導致系統行為的等效的非預測性。

定律

我們對於哈密頓系統可以一般地說什麼呢？相空間的區域究竟是否隨時間散開呢？似乎對於一個如此廣泛的問題，很少有什麼可說的。然而，人們發現了一個非常漂亮的定理，它要歸功於傑出的法國數學家約瑟夫·劉維爾（1809--1882）。該定律講，相空間中的任何區域的體積在任何哈密頓演化下必須保持常數。（當然，由於我們的相空間是高維的，所以「體積」必須是在相應高維意義上來說的。）這樣，每一個R1的體積必須和原先的R0的體積一樣。初看起來，這給了我們的穩定性問題以肯定的答案。在相空間體積的這層意義上，我們區域的尺度不能變大，好像我們的區域在相空間中不會散開似的。

然而，這是使人誤解的。我們在深思熟慮之後就會感到，很可能情況剛好與此相反！我想表示人們一般預料到的那種行為。我們可以將初始區域R0想象成一個小的、「合理的」，亦即較圓的而不是細長的形狀。這表明屬於R0的態在某種方面不必賦予不合情理的精確性。然而，隨着時間的發展，區域R1開始變形並拉長--初看起來有點像變形蟲，然後伸長到相空間中很遠的地方，並以非常複雜的方式糾纏得亂七八糟。體積的確是保持不變，但這個同樣小的體積會變得非常細，再發散到相空間的巨大區域中去。這和將一小滴墨水放到一大盆水中的情形有點類似。雖然墨水物質的實際體積不變，它最終被稀釋到整個容器的容積中去。區域Rt在相空間中的行為與此很類似。它可能不在全部相空間中散開（那是稱之為「愛哥狄克」的極端情況），但很可能散開到比原先大得極多的區域去。（可參閱戴維斯（1974）的進一步討論。）

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