相對論
基本簡介
相對論（Relativity）的基本假設是相對性原理，即物理定律與參照系的選擇無
關。狹義相對論（Special Relativity）和廣義相對論（General Relativity）的區別是，前者討論的是勻速直線運動的參照系（慣性參照系）之間的物理定律，後者則推廣到具有加速度的參照系中（非慣性系），並在等效原理的假設下，廣泛應用於引力場中。相對論和量子力學是現代物理學的兩大基本支柱。經典物理學基礎的經典力學，不適用於高速運動的物體和微觀領域。相對論解決了高速運動問題；量子力學解決了微觀亞原子條件下的問題。相對論顛覆了人類對宇宙和自然的「常識性」觀念，提出了「時間和空間的相對性」、「四維時空」、「彎曲空間」等全新的概念。狹義相對論提出於1905年，廣義相對論提出於1915年（愛因斯坦在1915年末完成廣義相對論的創建工作，在1916年初正式發表相關論文）。
由於牛頓定律給狹義相對論提出了困難，即任何空間位置的任何物體都要受到力的作用。因此，在整個宇宙中不存在慣性觀測者。愛因斯坦為了解決這一問題又提出了廣義相對論。
狹義相對論最著名的推論是質能公式，它說明了質量隨能量的增加而增加。它也可以用來解釋核反應所釋放的巨大能量，但它不是導致原子彈的誕生的原因。而廣義相對論所預言的引力透鏡和黑洞，與有些天文觀測到的現象符合。[1]
根據質能方程，人們很容易推出 「 光速是宇宙中最快速度 」。因為，當物體達到光速時，其質量將變得無窮大，與事實不相符。然而，還有人提出，存在着兩種宇宙，即 「快宇宙 」 和 「 慢宇宙 」。所有基本粒子在快宇宙中比光速快，即快子，因此，他們所組成的物質也比光速快，反之亦然。此外，有天文學家驚人觀測到超光速現象，包括星系相離的速度、類星體膨脹的速度等等。 但是，至今沒有一種說法令人信服，也沒有一種說法推翻相對論。[2]
提出過程
絕對時空觀
所謂的時空觀，即是有關時間和空間的物理性質的認識。伽利略變換是力學相對論原理的數學描述。它集中反映了經典力學的絕對時空觀。
1．時間間隔與慣性系的選擇無關
若有兩事件先後發生，在兩個不同的慣性系中的觀測者測得的時間間隔相同。
2．空間間隔也與慣性系的選擇無關
空間任意兩點之間的距離與慣性系的選擇無關。
我們可以看出，在經典力學中，物體的坐標和速度是相對的，同一地點也是相對的。但時間、長度和質量這三個物理量是絕對的,同時性也是絕對的。這就是經典力學的絕對時空觀。
以太
十九世紀中葉，麥克斯韋建立了電磁場理論，並預言了以光速C傳播的電磁波的存在。在十九世紀末，實驗完全證實了麥克斯韋理論。電磁波是什麼？它的傳播速度C是對誰而言的呢？當時流行的看法是整個宇宙空間充滿一種連續介質叫做「以太」，光線和射電訊號是在以太中的波動。完整理論需要的是仔細測量以太的彈性性質，為此，哈佛大學建立了傑弗遜實驗室，整個建築不用任何鐵釘，以免干擾磁測量，然而因策劃者忽視了褐紅色磚頭中所含大量鐵，預計實驗無法如期進行。到世紀之末，開始出現了和穿透一切以太的觀念的偏差，如果認為地球是在一個靜止的以太中運動，那麼根據速度疊加原理，在地球上沿不同方向傳播的光的速度必定不一樣，但是實驗否定了這個結論；如果認為以太被地球帶着走，又明顯與天文學上的一些觀測結果不符。就此，人們發現，這是一個充滿矛盾的理論。
1887年阿爾伯特·邁克爾遜和愛德華·莫雷利用光的干涉現象進行了非常精確的測量，仍沒有發現地球有相對於以太的任何運動。對此，洛侖茲（H．A．Lorentz）提出了一個假設，認為一切在以太中運動的物體都要沿運動方向收縮。由此他證明了，即使地球相對以太有運動，邁克爾遜也不可能發現它。愛因斯坦從完全不同的思路研究了這一問題。他指出，只要摒棄牛頓所確立的絕對時間的概念，一切困難都可以解決，根本不需要什麼以太。
★注釋： 以太：由希臘學者提出，認為是光傳播的介質
兩個基本假設
1．物理規律在所有慣性系中都具有相同的形式。
2．在所有的慣性系中，光在真空中的傳播速率具有相同的值C。
第一個叫做相對性原理。它是說：如果坐標系K'相對於坐標系K作勻速運動而沒有轉動，則相對於這兩個坐標系所做的任何物理實驗，都不可能區分哪個是坐標系K，哪個是坐標系K′。
第二個原理叫光速不變原理，它是說光（在真空中）的速度c是恆定的，它不依賴於發光物體的運動速度。
從表面上看，光速不變似乎與相對性原理衝突。因為按照經典力學速度的合成法則，對於K′和K這兩個做相對勻速運動的坐標系，光速應該不一樣。愛因斯坦認為，要承認這兩個假設沒有牴觸，就必須重新分析時間與空間的物理概念。
洛倫茲變換
經典力學中的速度合成法則實際依賴於如下兩個假設：
a．兩個事件發生的時間間隔與測量時間所用的鐘的運動狀態沒有關係。
b．兩點的空間距離與測量距離所用的尺的運動狀態無關。
愛因斯坦發現，如果承認光速不變原理與相對性原理是相容的，那麼這兩條假設都必須摒棄。這時，對一個鍾時同時發生的事件，對另一個鐘不一定是同時的，同時性有了相對性。在兩個有相對運動的坐標系中，測量兩個特定點之間的距離得到的數值不再相等，距離也有了相對性。
如果設K坐標系中一個事件可以用三個空間坐標x、y、z和一個時間坐標t來確定，而K′坐標系中同一個事件由x′、y′、z′和t′來確定，則愛因斯坦發現，x′、y′、z′和t′可以通過一組方程由x、y、z和t求出來。兩個坐標系的相對運動速度和光速c是方程的唯一參數。這個方程最早是由洛侖茲得到的，所以稱為洛侖茲變換。
利用洛侖茲變換很容易證明，鍾會因為運動而變慢，尺在運動時要比靜止時短，速度的相加滿足一個新的法則。相對性原理也被表達為一個明確的數學條件，即在洛侖茲變換下，空時變量x'、y'、z'、t'將代替空時變量x、y、z、t，而任何自然定律的表達式仍取與原來完全相同的形式。人們稱之為普遍的自然定律對於洛侖茲變換是協變的。這一點在探索普遍的自然定律方面具有非常重要的作用。
時間與空間的聯繫
此外，在經典物理學中，時間是絕對的。它一直充當着不同於三個空間坐標的獨立角色。愛因斯坦的相對論把時間與空間聯繫起來了。認為物理的現實世界是各個事件組成的，每個事件由四個數來描述。這四個數就是它的時空坐標t和x、y、z，它們構成一個四維的剛性連續時空，通常稱為明可夫基里平直時空。在相對論中，用四維方式來考察物理的現實世界是很自然的。狹義相對論導致的另一個重要的結果是關於質量和能量的關係。在愛因斯坦以前，物理學家一直認為質量和能量是截然不同的，它們是分別守恆的量。愛因斯坦發現，在相對論中質量與能量密不可分，兩個守恆定律結合為一個定律。他給出了一個著名的質量-能量公式：E=MC^2，其中c為光速。於是質量可以看作是它的能量的量度。計算表明，微小的質量蘊涵着巨大的能量。在後來的核反應試驗中證明了這一點。
對愛因斯坦引入的這些全新的概念，大部分物理學家，其中包括相對論變換關係的奠基人洛侖茲，都覺得難以接受。
舊的思想方法的障礙，使這一新的物理理論直到一代人之後才為廣大物理學家所熟悉，就連瑞典皇家科學院，1922年把諾貝爾獎金授予愛因斯坦時，也只是說「由於他對理論物理學的貢獻，更由於他發現了支配光電效應的定律。」對於相對論隻字未提。
建立廣義相對論
愛因斯坦於1915年進一步建立起了廣義相對論。狹義相對性原理還僅限於兩個相對做勻速運動的坐標系，而在廣義相對論性原理中勻速運動這個限制被取消了。他引入了一個等效原理，認為不可能區分引力效應和非勻速運動，即任何加速和引力是等效的。他進而分析了光線在靠近一個行星附近穿過時會受到引力而彎折的現象，認為引力的概念本身完全不必要。可以認為行星的質量使它附近的空間變成彎曲，光線走的是最短程線。基於這些討論，愛因斯坦導出了一組方程，它們可以確定由物質的存在而產生的彎曲空間幾何。利用這個方程，愛因斯坦計算了水星近日點的位移量，與實驗觀測值完全一致，解決了一個長期解釋不了的困難問題，這使愛因斯坦激動不已。他在寫給埃倫菲斯特的信中這樣寫道：「方程給出了近日點的正確數值，你可以想象我有多高興！有好幾天，我高興得不知怎樣才好。」
實驗驗證
1915年11月25日，愛因斯坦把題為「萬有引力方程」的論文提交給了柏林的普魯士科學院，完整地論述了廣義相對論。在這篇文章中他不僅解釋了天文觀測中發現的水星軌道近日點移動之謎，而且還預言：星光經過太陽會發生偏折，偏折角度相當於牛頓理論所預言的數值的兩倍——只有在日全食期間觀測。愛因斯坦籌備經費，天文學家弗羅因德利希去克里米亞進行觀測，不巧，德國對俄國宣戰，弗羅因德利希被懷疑是間諜，扣押至8月底，那是他和他的小組與德國扣押的俄國高級軍官做了交換。
1919年5月25日的日全食給人們提供了一次觀測機會。英國人愛丁頓奔赴非洲西海岸的普林西比島，進行了這一觀測。11月6日，湯姆遜在英國皇家學會和皇家天文學會聯席會議上鄭重宣布：得到證實的是愛因斯坦而不是牛頓所預言的結果。他稱讚道「這是人類思想史上最偉大的成就之一。愛因斯坦發現的不是一個小島，而是整整一個科學思想的新大陸。」泰晤士報以「科學上的革命」為題對這一重大新聞做了報道。消息傳遍全世界，愛因斯坦成了舉世矚目的名人。廣義相對論也被提高到神話般受人敬仰的寶座。
從那時以來，人們對廣義相對論的實驗檢驗表現出越來越濃厚的興趣。但由於太陽系內部引力場非常弱，引力效應本身就非常小，廣義相對論的理論結果與牛頓引力理論的偏離很小，觀測非常困難。七十年代以來，由於射電天文學的進展，觀測的距離遠遠突破了太陽系，觀測的精度隨之大大提高。特別是1974年9月由麻省理工學院的泰勒和他的學生赫爾斯，用305米口徑的大型射電望遠鏡進行觀測時，發現了脈衝雙星，它是一個中子星和它的伴星在引力作用下相互繞行，周期只有0.323天，它的表面的引力比太陽表面強十萬倍，是地球上甚至太陽系內不可能獲得的檢驗引力理論的實驗室。經過長達十餘年的觀測，他們得到了與廣義相對論的預言符合得非常好的結果。由於這一重大貢獻，泰勒和赫爾斯獲得了1993年諾貝爾物理獎。
相關信息
狹義相對論
馬赫和休謨的哲學對愛因斯坦影響很大。馬赫認為時間和空間的量度與物質運動有關。時空的觀念是通過經驗形成的，絕對時空無論依據什麼經驗也不能把握。休謨更具體的說：空間和廣延不是別的，而是按一定次序分布的可見的對象充滿空間。而時間總是由能夠變化的對象的可覺察的變化而發現的。1905年愛因斯坦指出，邁克爾遜和莫雷實驗實際上說明關於「以太」的整個概念是多餘的，光速是不變的。而牛頓的絕對時空觀念是錯誤的。不存在絕對靜止的參照物，時間測量也是隨參照系不同而不同的。他用光速不變和相對性原理推出了洛侖茲變換。創立了狹義相對論。
狹義相對論是建立在四維時空觀上的一個理論，因此要弄清相對論的內容，要先對相對論的時空觀有個大體了解。在數學上有各種多維空間，但目前為止，我們認識的物理世界只是四維，即三維空間加一維時間。現代微觀物理學提到的高維空間是另一層意思，只有數學意義，在此不做討論。
四維時空是構成真實世界的最低維度，我們的世界恰好是四維，至於高維真實空間，至少現在我們還無法感知。有一個例子，一把尺子在三維空間裡（不含時間）轉動，其長度不變，但旋轉它時，它的各坐標值均發生了變化，且坐標之間是有聯繫的。四維時空的意義就是時間是第四維坐標，它與空間坐標是有聯繫的，也就是說時空是統一的，不可分割的整體，它們是一種「此消彼長」的關係。
四維時空不僅限於此，由質能關係知，質量和能量實際是一回事，質量（或能量）並不是獨立的，而是與運動狀態相關的，比如速度越大，質量越大，即在我們的自然世界中沒有絕對靜止的物體。在四維時空里，質量（或能量）實際是四維動量的第四維分量，動量是描述物質運動的量，因此質量與運動狀態有關就是理所當然的了。在四維時空里，動量和能量實現了統一，稱為能量動量四矢。另外在四維時空里還定義了四維速度，四維加速度，四維力，電磁場方程組的四維形式等。值得一提的是，電磁場方程組的四維形式更加完美，完全統一了電和磁，電場和磁場用一個統一的電磁場張量來描述。四維時空的物理定律比三維定律要完美的多，這說明我們的世界的確是四維的。可以說至少它比牛頓力學要完美的多。至少由它的完美性，我們不能對它妄加懷疑。
相對論中，時間與空間構成了一個不可分割的整體——四維時空，能量與動量也構成了一個不可分割的整體——四維動量。這說明自然界一些看似毫不相干的量之間可能存在深刻的聯繫。在今後論及廣義相對論時我們還會看到，時空與能量動量四矢之間也存在着深刻的聯繫。
原理
物質在相互作用中作永恆的運動，沒有不運動的物質，也沒有無物質的運動，由於物質是在相互聯繫，相互作用中運動的，因此，必須在物質的相互關係中描述運動，而不可能孤立的描述運動。也就是說，運動必須有一個參考物，這個參考物就是參考系。
伽利略曾經指出，運動的船與靜止的船上的運動不可區分，也就是說，當你在封閉的船艙里，與外界完全隔絕，那麼即使你擁有最發達的頭腦，最先進的儀器，也無從感知你的船是勻速運動，還是靜止。更無從感知速度的大小，因為沒有參考。比如，我們不知道我們整個宇宙的整體運動狀態，因為宇宙是封閉的。愛因斯坦將其引用，作為狹義相對論的第一個基本原理：狹義相對性原理。其內容是：慣性系之間完全等價，不可區分。
著名的麥克爾遜·莫雷實驗徹底否定了光的以太學說，得出了光與參考系無關的結論。也就是說，無論你站在地上，還是站在飛奔的火車上，測得的光速都是一樣的。這就是狹義相對論的第二個基本原理：光速不變原理。
由這兩條基本原理可以直接推導出相對論的坐標變換式，速度變換式等所有的狹義相對論內容。比如速度變換，與傳統的法則相矛盾，但實踐證明是正確的，因此，從這個意義上說，光速是不可超越的，因為無論在那個參考系，光速都是不變的。速度變換已經被粒子物理學的無數實驗證明，是無可挑剔的。正因為光的這一獨特性質，因此被選為四維時空的唯一標尺。
洛倫茲變換(英文 Lorentz transformation），由於愛因斯坦提出的假說否定了伽利略變換，因此需要尋找一個滿足相對論基本原理的變換式。愛因斯坦導出了這個變換式，一般稱它為洛倫茲變換式。
效應
根據狹義相對性原理，慣性系是完全等價的，因此，在同一個慣性系中，存在統一的時間，稱為同時性，而相對論證明，在不同的慣性系中，卻沒有統一的同時性，也就是兩個事件（時空點）在一個慣性系內同時，在另一個慣性系內就可能不同時，這就是同時的相對性，在慣性系中，同一物理過程的時間進程是完全相同的，如果用同一物理過程來度量時間，就可在整個慣性系中得到統一的時間。在今後的廣義相對論中可以知道，非慣性系中，時空是不均勻的，也就是說，在同一非慣性系中，沒有統一的時間，因此不能建立統一的同時性。
相對論導出了不同慣性系之間時間進度的關係，發現運動的慣性系時間進度慢，這就是所謂的鐘慢效應。可以通俗的理解為，運動的鐘比靜止的鐘走得慢，而且，運動速度越快，鍾走的越慢，接近光速時，鍾就幾乎停止了。
尺子的長度就是在一慣性系中"同時"得到的兩個端點的坐標值的差。由於"同時"的相對性，不同慣性系中測量的長度也不同。相對論證明，在尺子長度方向上運動的尺子比靜止的尺子短，這就是所謂的尺縮效應，當速度接近光速時，尺子縮成一個點。
由以上陳述可知，鐘慢和尺縮的原理就是時間進度有相對性。也就是說，時間進度與參考系有關。這就從根本上否定了牛頓的絕對時空觀，相對論認為，絕對時間是不存在的，然而時間仍是個客觀量。比如雙生子理想實驗中，哥哥乘飛船回來後是15歲，弟弟可能已經是45歲了，說明時間是相對的，但哥哥的確是活了15年，弟弟也的確認為自己活了45年，這時與參考系無關的，時間又是"絕對的"。這說明，不論物體運動狀態如何，它本身所經歷的時間是一個客觀量，是絕對的，這稱為固有時。也就是說，無論你以什麼形式運動，你都認為你喝咖啡的速度很正常，你的生活規律都沒有被打亂，但別人可能看到你喝咖啡用了100年，而從放下杯子到壽終正寢只用了一秒鐘。
結論
相對論要求物理定律要在坐標變換（洛倫茲變化）下保持不變。經典電磁理論可以不加修改而納入相對論框架，而牛頓力學只在伽利略變換中形式不變，在洛倫茲變換下原本簡潔的形式變得極為複雜。因此經典力學要進行修改，修改後的力學體系在洛倫茲變換下形式不變，稱為相對論力學。
狹義相對論建立以後，對物理學起到了巨大的推動作用。並且深入到量子力學的範圍，成為研究高速粒子不可缺少的理論，而且取得了豐碩的成果。然而在成功的背後，卻有兩個遺留下的原則性問題沒有解決。第一個是慣性系所引起的困難。拋棄了絕對時空後，慣性系成了無法定義的概念。我們可以說慣性系是慣性定律在其中成立的參考系。慣性定律實質是一個不受外力的物體保持靜止或勻速直線運動的狀態。然而"不受外力"是什麼意思?只能說，不受外力是指一個物體能在慣性系中靜止或勻速直線運動。這樣，慣性系的定義就陷入了邏輯循環，這樣的定義是無用的。我們總能找到非常近似的慣性系，但宇宙中卻不存在真正的慣性系，整個理論如同建築在沙灘上一般。第二個是萬有引力引起的困難。萬有引力定律與絕對時空緊密相連，必須修正，但將其修改為洛倫茲變換下形勢不變的任何企圖都失敗了，萬有引力無法納入狹義相對論的框架。當時物理界只發現了萬有引力和電磁力兩種力，其中一種就冒出來搗亂，情況當然不會令人滿意。
愛因斯坦只用了幾個星期就建立起了狹義相對論，然而為解決這兩個困難，建立起廣義相對論卻用了整整十年時間。為解決第一個問題，愛因斯坦乾脆取消了慣性系在理論中的特殊地位，把相對性原理推廣到非慣性系。因此第一個問題轉化為非慣性系的時空結構問題。在非慣性系中遇到的第一隻攔路虎就是慣性力。在深入研究了慣性力後，提出了著名的等效原理，發現參考系問題有可能和引力問題一併解決。幾經曲折，愛因斯坦終於建立了完整的廣義相對論。廣義相對論讓所有物理學家大吃一驚，引力遠比想象中的複雜的多。至今為止愛因斯坦的方程也只得到了為數不多的幾個確定解。它那優美的數學形式至今令物理學家們嘆為觀止。就在廣義相對論取得巨大成就的同時，由哥本哈根學派創立並發展的量子力學也取得了重大突破。然而物理學家們很快發現，兩大理論並不相容，至少有一個需要修改。於是引發了那場著名的論戰：愛因斯坦VS哥本哈根學派。直到現在爭論還沒有停止，只是越來越多的物理學家更傾向量子理論。建立了廣義相對論以後，愛因斯坦後來的約四十年的時間都用來探索統一場論，試圖把引力和電磁力統一起來，以完成物理學的完全統一。剛開始幾年他十分樂觀，以為勝利在握；後來發現困難重重。當時的大部分物理學家並不看好他的工作，因此他的處境十分孤立。雖然他始終沒有取得突破性的進展，不過他的工作為物理學家們指明了方向：建立包含四種作用力的超統一理論。目前學術界公認的最有希望的候選者是超弦理論與超膜理論。
證明
相對論公式及證明
符號 單位 符號 單位
坐標（x,y,z）：m 力F(f）：N
時間t(T）：s 質量m(M): kg
位移r：m 動量p: kg*m/s
速度v(u）：m/s 能量E: J
加速度a：m/s^2 衝量：N*s
長度l(L）：m 動能Ek：J
路程s(S）：m 勢能Ep：J
角速度ω：rad/s 力矩：N*m
角加速度：rad/s^2α 功率P：W
牛頓力學
（一）：質點運動學基本公式：（1)v=dr/dt,r=r0+∫vdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
（註：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式）
當v不變時，（1）表示勻速直線運動。
當a不變時，（2）表示勻變速直線運動。
只要知道質點的運動方程r=r(t），它的一切運動規律就可知了。
（二）：質點動力學：
(1）牛一：一切物體在沒有受到力的作用時，總保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。
(2）牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3）牛三：兩個物體之間的作用力和反作用力，總是同時在同一條直線上，大小相等，方向相反。
(4）萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
動量定理：I=∫Fdt=p2-p1（合外力的衝量等於動量的變化）
動量守恆：合外力為零時，系統動量保持不變。
動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等於動能的變化）
機械能守恆：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
（註：牛頓力學的核心是牛頓第二定律：F=ma，它是運動學與動力學的橋樑，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t），若知受力情況，根據牛二可得a，再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t），可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。）
狹義相對論力學
（註：「γ」為相對論因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2），β=u/c，u為慣性系速度。）
1．基本原理：（1）相對性原理：所有慣性系都是等價的。
（2）光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。
（此處先給出公式再給出證明）
2．洛侖茲坐標變換：
X=γ（x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ（t-ux/c^2)
3．速度變換：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/（γ（1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/（γ（1-v(x)u/c^2))
4．尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ
5．鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
6．光的多普勒效應：ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b)
（光源與探測器在一條直線上運動。）
7．動量表達式：P=Mv=γmv，即M=γm
8．相對論力學基本方程：F=dP/dt
9．質能方程：E=Mc^2
10．能量動量關係：E^2=(E0)^2+P^2c^2
（註：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。）
三維證明
1．由實驗總結出的公理，無法證明。
2．洛侖茲變換：
設（x,y,z,t）所在坐標系（A系）靜止，（X,Y,Z,T）所在坐標系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的坐標為X=-uT，即X+uT=0。
可令
x=k(X+uT) (1).
又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數（廣義相對論中，由於時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。）同理，B系中的原點處有X=K(x-ut），由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K.
故有
X=k(x-ut) (2).
對於y,z,Y,Z皆與速度無關，可得
Y=y (3).
Z=z (4).
將（2）代入（1）可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即
T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
(1)(2)(3)(4)(5）滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光信號，則對兩系分別有x=ct，X=cT.
代入（1)(2）式得：ct=kT(c+u），cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：
k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入（2)(5）式得坐標變換：
X=γ（x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ（t-ux/c^2)
3．速度變換：
V(x)=dX/dT=γ（dx-ut)/（γ（dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z）的表達式。
4．尺縮效應：
B系中有一與x軸平行長l的細杆，則由X=γ（x-ut）得：△X=γ（△x-u△t），又△t=0（要同時測量兩端的坐標），則△X=γ△x，即：△l=γ△L，△L=△l/γ
5．鐘慢效應：
由坐標變換的逆變換可知，t=γ（T+Xu/c^2），故△t=γ（△T+△Xu/c^2），又△X=0，（要在同地測量），故△t=γ△T.
（註：與坐標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨坐標變換而變的客觀量。）
6．光的多普勒效應：（註：聲音的多普勒效應是：ν（a)=((u+v1)/(u-v2））ν（b).）
B系原點處一光源發出光信號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鍾，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν（b），波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b），由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為
△t(a)=γ△t(b) (1).
探測器開始接收時刻為t1+x/c，最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c，則
△t(N)=(1+β）△t(a) (2).
相對運動不影響光信號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即
ν（b）△t(b)=ν（a）△t(N) (3).
由以上三式可得：
ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b).
7．動量表達式：（註：dt=γdτ，此時，γ=1/sqr(1-v^2/c^2）因為對於動力學質點可選自身為參考系，β=v/c）
牛頓第二定律在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛頓第二定律都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式。
牛頓力學中，v=dr/dt，r在坐標變換下形式不變，（舊坐標系中為（x,y,z）新坐標系中為（X,Y,Z））只要將分母替換為一個不變量（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv，將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm（相對論質量）則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（註：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）
8．相對論力學基本方程：：
由相對論動量表達式可知：F=dp/dt，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變量）
9．質能方程：
Ek=∫Fdr=∫（dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
10．能量動量關係：
E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2），E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四維證明
1．公理，無法證明。
2．坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，
dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
則對光信號dS恆等於0，而對於任意兩時空點的dS一般不為0。dS^2>0稱類空間隔，dS^2<0稱類時間隔，dS^2=0稱類光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標變換無關的不變量，dS^2dS^2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是坐標變換下的不變量。
由數學的旋轉變換公式有：（保持y,z軸不動，旋轉x和ict軸）
X=xcosφ+(ict)sinφ
得：tanφ=iu/c，則cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ（x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ（t-ux/c^2)
3．4．5．6．略。
7．動量表達式及四維矢量：（註：γ=1/sqr(1-v^2/c^2），下式中dt=γdτ）
令r=(x,y,z,ict）則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。
則V=（γv,icγ）γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）
四維動量：P=mV=（γmv,icγm)=(Mv,icM)
四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F為三維力）
四維加速度：ω=/dτ=（γ^4a，γ^4iva/c)
則f=mdV/dτ=mω
8．略。
9．質能方程：
fV=mωV=m（γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四維力與四維速度永遠「垂直」，（類似於洛倫茲磁場力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v為三維矢量，且Fv=dEk/dt（功率表達式））
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2
廣義相對論
相對論問世，人們看到的結論就是：四維彎曲時空，有限無邊宇宙，引力波，引力透鏡，大爆炸宇宙學說，以及二十一世紀的主旋律--黑洞等等。這一切來的都太突然，讓人們覺得相對論神秘莫測，因此在相對論問世頭幾年，一些人揚言"全世界只有十二個人懂相對論"。甚至有人說"全世界只有兩個半人懂相對論"。更有甚者將相對論與"通靈術"，"招魂術"之類相提並論。其實相對論並不神秘，它是最腳踏實地的理論，是經歷了千百次實踐檢驗的真理，更不是高不可攀的。
相對論應用的幾何學並不是普通的歐幾里得幾何，而是黎曼幾何。相信很多人都知道非歐幾何，它分為羅氏幾何與黎氏幾何兩種。黎曼從更高的角度統一了三種幾何，稱為黎曼幾何。在非歐幾何里，有很多奇怪的結論。三角形內角和不是180度，圓周率也不是3.14等等。因此在剛出台時，倍受嘲諷，被認為是最無用的理論。直到在球面幾何中發現了它的應用才受到重視。
空間如果不存在物質，時空是平直的，用歐氏幾何就足夠了。比如在狹義相對論中應用的，就是四維偽歐幾里得空間。加一個偽字是因為時間坐標前面還有個虛數單位i。當空間存在物質時，物質與時空相互作用，使時空發生了彎曲，這是就要用非歐幾何。而且不存在沒有物質的空間，因為就算有你也永遠無法發現，因為當你看見它的同時，它就有了物質，最起碼是光。
相對論預言了引力波的存在，發現了引力場與引力波都是以光速傳播的，否定了萬有引力定律的超距作用。當光線由恆星發出，遇到大質量天體，光線會重新匯聚，也就是說，我們可以觀測到被天體擋住的恆星。一般情況下，看到的是個環，被稱為愛因斯坦環。愛因斯坦將場方程應用到宇宙時，發現宇宙不是穩定的，它要麼膨脹要麼收縮。當時宇宙學認為，宇宙是無限的，靜止的，恆星也是無限的。於是他不惜修改場方程，加入了一個宇宙項，得到一個穩定解，提出有限無邊宇宙模型。不久哈勃發現著名的哈勃定律，提出了宇宙膨脹學說。愛因斯坦為此後悔不已，放棄了宇宙項，稱這是他一生最大的錯誤。在以後的研究中，物理學家們驚奇的發現，宇宙何止是在膨脹，簡直是在爆炸。極早期的宇宙分布在極小的尺度內，宇宙學家們需要研究粒子物理的內容來提出更全面的宇宙演化模型，而粒子物理學家需要宇宙學家們的觀測結果和理論來豐富和發展粒子物理。這樣，物理學中研究最大和最小的兩個目前最活躍的分支：粒子物理學和宇宙學竟這樣相互結合起來。就像高中物理序言中說的那樣，如同一頭怪蟒咬住了自己的尾巴。值得一提的是，雖然愛因斯坦的靜態宇宙被拋棄了，但它的有限無邊宇宙模型卻是宇宙未來三種可能的命運之一，而且是最有希望的。近年來宇宙項又被重新重視起來了。黑洞問題將在今後的文章中討論。黑洞與大爆炸雖然是相對論的預言，它們的內容卻已經超出了相對論的限制，與量子力學，熱力學結合的相當緊密。今後的理論有希望在這裡找到突破口。
公式
根據廣義相對論中「宇宙中一切物質的運動都可以用曲率來描述，引力場實際上就是一個彎曲的時空」的思想，愛因斯坦給出了著名的引力場方程（Einstein's field equation）：<math>R_ - \fracg_ R = - 8 \pi {G \over c} T_ </math>
其中 G 為牛頓萬有引力常數，這被稱為愛因斯坦引力場方程，也叫愛因斯坦場方程。該方程是一個以時空為自變量、以度規為因變量的帶有橢圓型約束的二階雙曲型偏微分方程。它以複雜而美妙著稱，但並不完美，計算時只能得到近似解。最終人們得到了真正球面對稱的準確解——史瓦茲解。加入宇宙學常數後的場方程為：<math>R_ - \fracg_ R + \Lambda g_= - 8 \pi {G \over c} T_ </math>
原理
由於慣性系無法定義，愛因斯坦將相對性原理推廣到非慣性系，提出了廣義相對論的第一個原理：廣義相對性原理。其內容是，所有參考系在描述自然定律時都是等效的。這與狹義相對性原理有很大區別。在不同參考系中，一切物理定律完全等價，沒有任何描述上的區別。但在一切參考系中，這是不可能的，只能說不同參考系可以同樣有效的描述自然律。這就需要我們尋找一種更好的描述方法來適應這種要求。通過狹義相對論，很容易證明旋轉圓盤的圓周率大於3.14。因此，普通參考系應該用黎曼幾何來描述。第二個原理是光速不變原理：光速在任意參考系內都是不變的。它等效於在四維時空中光的時空點是不動的。當時空是平直的，在三維空間中光以光速直線運動，當時空彎曲時，在三維空間中光沿着彎曲的空間運動。可以說引力可使光線偏折，但不可加速光子。第三個原理是最著名的等效原理。質量有兩種，慣性質量是用來度量物體慣性大小的，起初由牛頓第二定律定義。引力質量度量物體引力荷的大小，起初由牛頓的萬有引力定律定義。它們是互不相干的兩個定律。慣性質量不等於電荷，甚至目前為止沒有任何關係。那麼慣性質量與引力質量（引力荷）在牛頓力學中不應該有任何關係。然而通過當代最精密的試驗也無法發現它們之間的區別，慣性質量與引力質量嚴格成比例（選擇適當係數可使它們嚴格相等）。廣義相對論將慣性質量與引力質量完全相等作為等效原理的內容。慣性質量聯繫着慣性力，引力質量與引力相聯繫。這樣，非慣性系與引力之間也建立了聯繫。那麼在引力場中的任意一點都可以引入一個很小的自由降落參考系。由於慣性質量與引力質量相等，在此參考系內既不受慣性力也不受引力，可以使用狹義相對論的一切理論。初始條件相同時，等質量不等電荷的質點在同一電場中有不同的軌道，但是所有質點在同一引力場中只有唯一的軌道。等效原理使愛因斯坦認識到，引力場很可能不是時空中的外來場，而是一種幾何場，是時空本身的一種性質。由於物質的存在，原本平直的時空變成了彎曲的黎曼時空。在廣義相對論建立之初，曾有第四條原理，慣性定律：不受力（除去引力，因為引力不是真正的力）的物體做慣性運動。在黎曼時空中，就是沿着測地線運動。測地線是直線的推廣，是兩點間最短（或最長）的線，是唯一的。比如，球面的測地線是過球心的平面與球面截得的大圓的弧。但廣義相對論的場方程建立後，這一定律可由場方程導出，於是慣性定律變成了慣性定理。值得一提的是，伽利略曾認為勻速圓周運動才是慣性運動，勻速直線運動總會閉合為一個圓。這樣提出是為了解釋行星運動。他自然被牛頓力學批的體無完膚，然而相對論又將它復活了，行星做的的確是慣性運動，只是不是標準的勻速。
驗證
愛因斯坦在建立廣義相對論時，就提出了三個實驗，並很快就得到了驗證：（1）引力紅移（2）光線偏折（3）水星近日點進動。直到最近才增加了第四個驗證：（4）雷達回波的時間延遲。
（1）引力紅移：廣義相對論證明，引力勢低的地方固有時間的流逝速度慢。也就是說離天體越近，時間越慢。這樣，天體表面原子發出的光周期變長，由於光速不變，相應的頻率變小，在光譜中向紅光方向移動，稱為引力紅移。宇宙中有很多緻密的天體，可以測量它們發出的光的頻率，並與地球的相應原子發出的光作比較，發現紅移量與相對論預言一致。60年代初，人們在地球引力場中利用伽瑪射線的無反衝共振吸收效應（穆斯堡爾效應）測量了光垂直傳播22。5M產生的紅移，結果與相對論預言一致。
（2）光線偏折：如果按光的波動說，光在引力場中不應該有任何偏折，按半經典式的"量子論加牛頓引力論"的混合產物，用普朗克公式E=hv和質能公式E=Mc^2 求出光子的質量，再用牛頓萬有引力定律得到的太陽附近的光的偏折角是0.87秒，按廣義相對論計算的偏折角是1.75秒，為上述角度的兩倍。1919年，一戰剛結束，英國科學家愛丁頓派出兩支考察隊，利用日食的機會觀測，觀測的結果約為1.7秒，剛好在相對論實驗誤差範圍之內。引起誤差的主要原因是太陽大氣對光線的偏折。最近依靠射電望遠鏡可以觀測類星體的電波在太陽引力場中的偏折，不必等待日食這種稀有機會。精密測量進一步證實了相對論的結論。
（3）水星近日點的進動：天文觀測記錄了水星近日點每百年移動5600秒，人們考慮了各種因素，根據牛頓理論只能解釋其中的5557秒，只剩43秒無法解釋。廣義相對論的計算結果與萬有引力定律（平方反比定律）有所偏差，這一偏差剛好使水星的近日點每百年移動43秒。
（4）雷達回波實驗：從地球向行星發射雷達信號，接收行星反射的信號，測量信號往返的時間，來檢驗空間是否彎曲（檢驗三角形內角和）60年代，美國物理學家克服重重困難做成了此實驗，結果與相對論預言相符。
理論分野
傳統上，在愛因斯坦剛剛提出相對論的初期，人們以所討論的問題是否涉及非慣性參考系來作為狹義與廣義相對論分類的標誌。隨着相對論的發展，這種分類方法越來越顯出其缺點——參考系是跟觀察者有關的，以這樣一個相對的物理對象來劃分物理理論，被認為較不能反映問題的本質。一般認為，狹義與廣義相對論的區別在於所討論的問題是否涉及引力（彎曲時空），即狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題，而廣義相對論則是討論有引力作用時的物理學的。用相對論的語言來說，就是狹義相對論的背景時空是平直的，即四維平凡流型配以閔氏度規，其曲率張量為零，又稱閔氏時空；而廣義相對論的背景時空則是彎曲的，其曲率張量不為零。