相似三角形

相似三角形圖片來源優酷網原圖鏈接

三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形(similar triangles)

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關係。

中文名；相似三角形

外文名:Similar Triangles

分   類:數學

特   點:三角相等，三邊成比例

目錄

簡介

三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形(similar triangles)

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關係。

定理

相似三角形的性質

定義 相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。

定理 相似三角形任意對應線段的比等於相似比。

定理 相似三角形的面積比等於相似比的平方。

相似三角形的判定

類比全等三角形的判定定理，可以得出下列結論：

定理 兩角分別對應相等的兩個三角形相似。

相似三角形原圖鏈接圖片來源優酷網

定理 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

定理 三邊成比例的兩個三角形相似。

定理 一條直角邊與斜邊成比例的兩個直角三角形相似。

根據以上判定定理，可以推出下列結論：

推論 三邊對應平行的兩個三角形相似。

推論 一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。

相似三角形的特殊情況

1.凡是全等的三角形都相似

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1。反之，當相似比為1時，相似三角形為全等三角形。

2. 有一個頂角或底角相等的兩個等腰三角形都相似

由此，所有的等邊三角形都相似。

性質

1. 相似三角形對應角相等，對應邊成比例。

2. 相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等於相似比。

3. 相似三角形周長的比等於相似比。

4. 相似三角形面積的比等於相似比的平方。

由 4 可得：相似比等於面積比的算術平方根。

5. 相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中項

7. a/b=c/d等同於ad=bc.

8. 不必是在同一平面內的三角形里。

推論

推論一：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論三：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。

射影定理

射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）俗稱母子三角形：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：(1)(AD)^2=BD·DC，(2)(AB)^2=BD·BC，(3)(AC)^2=CD·BC。等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)

一、平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那麼在任一條(與這組平行相交的)直線上截得的線段也相等

二、平行截割定理

兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對應線段成比例.

三、平行截割定理推論

平行於三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例.

運用

求物高，求距離。

設x的方程思想=等式 如下：面積公式勾股定理全等三角形或相似三角形三角函數

步驟看實際問題（給定）提取關鍵信息畫相應圖形（建立數學模型）找出等量關係（設X求解）

默認已知的條件：太陽光是平行光線同一時刻，甲物高/乙物高=甲影長/乙影長