正八面体
| 正八面体 |
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中文名: 正八面体 外文名: regular octahedron 顶点数: 6 边 数: 12 面 数: 8 应用学科: 几何学 |
正八面体，一种正多面体，也是一种正轴体，面为8个正三角形，八面体的对角面为正方形，共三个，并且两两垂直。交线同样两两垂直。二面角为109°28′16.3″。
正八面体每四条棱可以成为一个正方形，共有三个独立的正方形。[1]
顶点数目：6
边数目：12
面数目：8
当边长为a时：
表面积：
体积：
外接球半径：
(外接球即过正八面体各顶点的球)
内切球半径：
（内切球即与正八面体各面相切的球）
中交球半径：
（中交球即过正八面体各边中点的球）
目录
基本信息
首先，为什么棱长相等的正八面体体积是正四面体体积的4倍？要怎么证明呢？直接用公式计算证明？甚至动用定积分来计算？不不不，其实，这个证明并不难，只需一点点想象力，也许就可以让只学过学过正方体和三棱锥体积公式的小学生弄明白。
正八面体是五种正多面体的第三种，是三维的正轴体，有6个顶点、12条边和8个面。它由八个等边三角形构成，也可以看做上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成。正八面体的对偶多面体是立方体。
正八面体内嵌在立方体中时，6个顶点分别位于立方体的面心：
正八面体体积 : 立方体体积=1 : 6
坐标系
以棱长为的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x,y,z轴建立三维直角坐标系（正八面体的3条对角线两两正交，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为
( ±1, 0, 0 )
( 0, ±1, 0 )
( 0, 0, ±1 )
正八面体表面方程为： |x|+|y|+|z|=1
更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为(x0,y0,z0)，外接圆半径为r（棱长为），则正八面体表面方程为： |x-x0|+|y-y0|+|z-z0|=r如果中心在原点的正八面体被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为其内接于椭球体表面积S和体积V为：
它的惯性张量I是：当时，菱形体为上述正八面体。
正交投影
正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：
正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的对称群是Oh（正八面体群），是三维的超正八面体群。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：Td（群阶24），截半正四面体的对称群；D3d（群阶12），三角反棱柱的对称群；D4h（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的对称群；D2h（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。
对偶性
正八面体的对偶多面体是立方体。
当正八面体在立方体之内：
正八面体体积: 立方体体积
=[(1/3)×高×底面积]×2: 边
=(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n
=1: 6
历史
柏拉图认为正八面体介于正四面体（火）和正二十面体（水）之间，因此认为它代表的元素是空气。