梯度
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中文名: 梯度 外文名: gradient 學 科: 微積分學 適用範圍: 數理科學 相關概念: 方向導數 性 質: 向量 |
梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值，即函數在該點處沿着該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。[1]
目錄
定義
設二元函數 ,即有： gradf（x，y）= 其中 。 設
是方向l上的单位向量，则
由於當方向l與梯度方向一致時，有 所以當l與梯度方向一致時,方向導數
有最大值，且最大值为梯度的模，即
因此說，函數在一點沿梯度方向的變化率最大，最大值為該梯度的模。
推廣
梯度的概念可以推廣到三元函數的情形。 設三元函數 ，稱向量 為函數 ，即 其中。 同樣，該梯度方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值。
應用
設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標系下的表達式如圖1。 在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐幾里得空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。 在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率。 梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。