柯西序列

柯西序列

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在數學中，一個柯西序列是指一個這樣一個序列，它的元素隨着序數的增加而愈發靠近。更確切地說，在去掉有限個元素後，可以使得餘下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。柯西列是以數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

目錄

簡介

柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間(metric space)中柯西列才有意義。在更一般的一致空間(uniform space)中，可以定義更為抽象的柯西濾子(Cauchy filter)和柯西網(Cauchy net)。一個重要性質是，在完備空間（complete space）中，所有的柯西列都有極限，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值，如構造實數。

評價

在一個拓撲向量空間X中同樣可以定義一個柯西列：在X選擇一個0局部基B，如果對於B中的任何元素V，存在一個正整數N使得對於任意的m,n>N而言，序列滿足，那麼這個序列就稱為一個柯西列。如果這個拓撲向量空間X上有恰好可以引入一個平移不變度量d，那麼上述方法定義的柯西列和利用這個度量d定義的柯西列是等價的。令表示一列有限指標的遞減的G的正規子群，那麼群G中一個序列稱為柯西列（對於上述 H而言），當且僅當對於任意的r，存在正整數N使得對於任意的 m,n>N，都有如果用C表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合，那麼C在序列點點相乘的意義下構成一個新的群。而且，即所有空序列（對於任意r，存在N使得對於任意n>N，都有）構成了C的正規子群。而商群稱為G相對於H的完備化可以證明，這個完備化同構與序列的逆向極限同構。如果H是個共尾序列（即任何有限的正規子群均包含某個），那麼這個完備化在與的逆極限同構的意義下是規範的，這裡的H跑遍所有有限的正規子群。