極小
 |
極小，亦稱為最小，最小值。在數學分析中，在給定範圍內（相對極值）或函數的整個域（全局或絕對極值），函數的最大值和最小值被統稱為極值（極數）。皮埃爾·費馬特（Pierre de Fermat）是第一位提出函數的最大值和最小值的數學家之一。
- 中文名:極小
- 外文名:minimum
目錄
尋找函數極大值和極小值
找到全局極大值和極小值是數學優化的目標。如果函數在閉合間隔上是連續的，則通過極值定理存在全局極大值和極小值。此外，全局極大值（或極小值）必須是域內部的局部極大值（或極小值），或者必須位於域的邊界上。因此，找到全局極大值（或極小值）的方法是查看內部的所有局部極大值（或極小值），並且還查看邊界上的點的極大值（或極小值），並且取極大值或極小）一個。 [1]
費馬定理可以發現局部極值的微分函數，它表明它們必須發生在臨界點。可以通過使用一階導數測試，二階導數測試或高階導數測試來區分臨界點是局部極大值還是局部極小值，給出足夠的可區分性。
對於分段定義的任何功能，通過分別查找每個零件的極大值（或極小值），然後查看哪一個是極大（或極小），找到極大值（或極小值）。
關於集
也可以為集合定義極大值和極小值。一般來說，如果有序集S具有極大的元素m，則m是極大元素。此外，如果S是有序集T的子集，並且m是相對於由T誘導的階數的S的極大元素，則m是T中S的極小上限。類似的結果適用於極小元素，極小元素和極大的下限。
在一般的部分順序的情況下，極小元素（小於所有其他元素）不應該與極小元素混淆（沒有更小）。同樣，部分有序集合（poset）的極大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的極大元素m是A的元素，使得如果m≤b（對於任何b在A）然後m = b。元素的極小元素或極大元素是唯一的，但是poset可以具有幾個極小或極大元素。如果一個poset有多個極大元素，那麼這些元素將不會相互比較。[2]
在完全有序的集合或鏈中，所有元素都是相互可比的，所以這樣的集合可以具有至多一個極小元素和極多一個極大元素。然後，由於相互的可比性，極小元素也將是極小元素，極大元素也將是極大的元素。因此，在一個完全有序的集合中，我們可以簡單地使用極小和極大值。如果鏈條是有限的，那麼它總是具有極大值和極小值。如果一個鏈是無限的，那麼它不需要極大或極小。例如，自然數的集合沒有極大值，儘管它具有極小值。如果無限鏈S有界，則集合的閉包Cl（S）偶爾具有極小值和極大值，在這種情況下，它們分別稱為集合S的極大下限和極小上限。