微分拓扑学
简介
微分拓扑学是研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。微分流形除了是拓扑流形外，还有一个微分结构。因此，对于从一个微分流形到另一个微分流形的映射，不仅可以谈论它是否为连续，还可以谈论它是否可微分。微分拓扑的奠基人是H.惠特尼，他研究的主要课题有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、协边理论等。微分拓扑学早期的研究可以追溯到拉格朗日(J.L.Langrange)、黎曼(B.Riemann).庞加莱(H.Poincare) 的不同时期。但由于数学工具的限制，相当长一段时间微分流形的研究未取得突破性进展。直到惠特尼(H.Whitney)1935 年给出了微分流形的一般定义并证明它总能嵌入到高维欧几里得空间作为子流形，以及凯恩斯(S.S.Cairns) 证明了微分流形的可剖分性，才使对其的研究重新兴起。触发了莫尔斯理论的产生，奇点理论这一分支的诞生。伴随着代数拓扑学中同调及上同调理论、纤维丛理论、示性类理论以及同伦伦的研究进展，1953 年托姆(R.Thom) 建立了协边理论，开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，使得许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。
评价
1956 年米尔诺(J.w.Milnor) 发现7 维球面上除了通常的微分结构之外.还有不同寻常的微分结构。随后，凯瓦雷(M.A.Kervaire) 构造出了不能赋以任何微分结构的流形。这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支，并进入20 世纪数学发展的主流。1960 年斯梅尔(S.Smale) 证明了 5 维以上微分流形的庞加莱猜想。米尔诺(J.W.Milnor)等发展了处理微分流形的基本方法一一剜补术，导致手术理论的产生，使得 5 维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。近 30 多年以来，在微分流形的研究中，突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。 80 年代初的重大成果有：弗里德曼(M.H.Freedman) 证明了四维庞加莱猜想，以及 4 维欧几里得空间及 4 维流形上有不同寻常的微分结构的发现等。 2003 年佩雷尔曼(G.Perelman)宣布证明了三维庞加莱猜想微分流形M和N叫做是微分同胚的，如果存在M和N之间的一一对应ƒ:M→N，使得ƒ和它的逆映射ƒ-1：N→M 都是可微映射。在微分拓扑中，彼此微分同胚的流形被看作是等价的。把等价的微分流形看作属于同一类。对微分流形进行分类是微分拓扑最基本的问题。[1]