子集
基本定義
對於兩個非空集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說 A ⊆ B(讀作A包含於B)，或 B ⊇ A(讀作B包含A)，稱集合A是集合B的子集。
規定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
空集的子集是它本身。[1]
如果A ⊆ B，而集合B中至少有一個元素不屬於集合A，則稱集合A是集合B的真子集。 任何一個集合是它本身的子集.
集合的包含關係和實數的大小關係有相似之處,記號⊆ 和≦有相似之處,開口指向"較大的一邊"
基本性質
命題 1：空集是任意集合的子集。[2]
證明：給定任意集合 A，要證明Φ是 A 的子集。這要求給出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ沒有元素。
對有經驗的數學家們來說，推論 "Φ沒有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。 因為Φ沒有任何元素，如何使"這些元素"成為別的集合的元素？ 換一種思維將有所幫助。
為了證明Φ不是 A 的子集，必須找到一個元素，屬於Φ，但不屬於 A。 因為Φ沒有元素，所以這是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。
這個命題說明：包含是一種偏序關係。
命題 2：若 A，B，C 是集合，則：
自反性: A ⊆ A
反對稱性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 當且僅當 A = B
傳遞性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 則 A ⊆ C
這個命題說明：對任意集合 S，S 的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。
命題 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，則：
存在一個最小元和一個最大元：
Φ ⊆ A ⊆ S (that Φ ⊆ A is Proposition 1 above.)
存在並運算:
A ⊆ A∪B
若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 則 A∪B ⊆ C
存在交運算:
A∩B ⊆ A
若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 則 C ⊆ A∩B
這個命題說明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。
命題 4: 對任意兩個集合 A 和 B，下列表述等價：
A ⊆ B
A ∩ B = A
A ∪ B = B
A − B =
B′ ⊆ A′
相關例子
我們知道，任何一個正整數都是自然數。就是說，正整數集E的任何一個元素都是自然數集N的一個元素。
對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那麼集合A叫做集合B的子集。
記作：A ⊆ B
讀作「A包含於B」（或B包含A）。例如，上述的
如果A是B的子集，但A中至少有一個元素不屬於B，那麼A就不是B的真子集，可記作
讀作「A不包含於B」（或「B不包含A」）。
注意事項
談起子集，特別要注意的是空集.記住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集,因為真子集的定義，如果A真包含於B，那麼至少存在一個元素屬於B，卻不屬於A，所以空集不符合。故空集是任何非空集合的子集。
如果一個集合的元素有n個，那麼它的子集有2的n次方個（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方減1個，真子集有2的n次方減1個，非空真子集有2的n次方減2個。