子集
基本定义
对于两个非空集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 A ⊆ B(读作A包含于B)，或 B ⊇ A(读作B包含A)，称集合A是集合B的子集。
规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
空集的子集是它本身。[1]
如果A ⊆ B，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。 任何一个集合是它本身的子集.
集合的包含关系和实数的大小关系有相似之处,记号⊆ 和≦有相似之处,开口指向"较大的一边"
基本性质
命题 1：空集是任意集合的子集。[2]
证明：给定任意集合 A，要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ没有元素。
对有经验的数学家们来说，推论 "Φ没有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为Φ没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。
为了证明Φ不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于Φ，但不属于 A。 因为Φ没有元素，所以这是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题 2：若 A，B，C 是集合，则：
自反性: A ⊆ A
反对称性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 当且仅当 A = B
传递性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C
这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则：
存在一个最小元和一个最大元：
Φ ⊆ A ⊆ S (that Φ ⊆ A is Proposition 1 above.)
存在并运算:
A ⊆ A∪B
若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A∪B ⊆ C
存在交运算:
A∩B ⊆ A
若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A∩B
这个命题说明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。
命题 4: 对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价：
A ⊆ B
A ∩ B = A
A ∪ B = B
A − B =
B′ ⊆ A′
相关例子
我们知道，任何一个正整数都是自然数。就是说，正整数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。
记作：A ⊆ B
读作“A包含于B”（或B包含A）。例如，上述的
如果A是B的子集，但A中至少有一个元素不属于B，那么A就不是B的真子集，可记作
读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）。
注意事项
谈起子集，特别要注意的是空集.记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集,因为真子集的定义，如果A真包含于B，那么至少存在一个元素属于B，却不属于A，所以空集不符合。故空集是任何非空集合的子集。
如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2的n次方个（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方减1个，真子集有2的n次方减1个，非空真子集有2的n次方减2个。