克萊因瓶

克萊因瓶
來自網易號的圖片
克萊因瓶
中文名稱：克萊因瓶提出者：菲利克斯·克萊因外文名稱：klein bottle

克萊因瓶（Klein Bottle）是指一種無定向性的平面，在數學領域中，比如2維平面，就沒有「內部」和「外部」之分。克萊因瓶最初的概念是由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。克萊因瓶的結構非常簡單，一個瓶子底部有一個洞，現在延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子內部，然後和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有「邊」，它的表面不會終結。它也不類似於氣球，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內外部之分）。^[1]

簡要介紹

克萊因瓶（Klein bottle）是一種不可定向的閉曲面，沒有「內部」和「外部」之分。克萊因瓶最初的概念是由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。克萊因瓶在三維空間中只能做出「浸入」模型（允許與自身相交），比如：一個瓶子底部有一個洞，延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子內部，然後和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有「邊」，它的表面不會終結，它也不類似於氣球。一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內外部之分）。「克萊因瓶」這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中「Kleinsche Fläche」是「克萊因平面」的意思。大概是誤寫成了「Flasche」，這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊，「瓶子」這個詞用起來也非常合適。在1882年，著名數學家菲利克斯·克萊因(Felix Klein) 發現了後來以他的名字命名的著名「瓶子」。這是一個像球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面(即環面)。

分析描述

在數學上，克萊因瓶是一個不可定向的二維緊緻流形，而球面或輪胎型。如果觀察克萊因瓶的圖片，有一點似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。事實是：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方。如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它並不和自己相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿着它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個「二維空間中一維可無限擴展之空間模型」的話，克萊因瓶只能作為展現一個「三維空間中二維可無限擴展之空間模型」的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180度翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的「三維空間中二維可無限擴展之空間模型」應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進，但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個「逆向原點」，真正理想的「三維空間中二維可無限擴展之空間模型」也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次「逆向原點」，再回到原點。而製作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫「拓撲學」，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。

拓撲學的定義

從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為正方形區域[0，1] × [0，1]模掉等價關係 (0，y) ~ (1，y) ，0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ~ (1-x，1) ， 0 ≤x≤ 1。可以用圖表示為 :就像麥比烏斯帶（又名：莫比烏斯環）一樣，克萊因瓶不可定向。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在三維的歐幾里德空間中嵌入，克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。^[2]

莫比烏斯帶

把一條紙帶的一段扭180度，再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有一莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿着它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的「8字形」克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面——克萊因瓶。實際上，可以說克萊因瓶是一個三度的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個「二維克萊因瓶」，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的三度空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。

製造經歷

事實上，德國數學家克萊因就曾提出了「不可能」設想，即拓撲學的大怪物——克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個「有外無內」的古怪東西。儘管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的「克萊因瓶」卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的「虛構物」，根本製造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮品。然而，等待他們的是一個失敗接着一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃製品，能造出一個紙模型也不錯呀。如果真的解決了這個問題，那可是個大收穫啊！但實際上，克萊因瓶已經被人製造出來了。在郭凱聲等編著的《數學遊戲（下）》一書的「玻璃克萊因瓶」一文中有清楚的介紹。茲引錄部分如下：「Alan Bennett是英國貝德福德的一位玻璃吹制工。幾年前，他開始對拓撲學中出現的各種神秘的形狀――莫比烏斯帶、克萊因瓶等等――發生興趣，並遇到了一個新奇的難題，數學家本會通過計算來嘗試解決這個難題，而Bennett則用玻璃解決了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就將成為倫敦科學博物館中的一項永久性陳列品。」克萊因瓶是不可能嵌入三維空間中的。在三維空間中，克萊因瓶必然跟自身相交，用數學的語言說，這樣得到的克萊因瓶在三維中的實現是克萊因瓶在三維空間中的浸入(immersion)。

發現人員

菲利克斯·克萊因（Felix Christian Klein，1849年4月25日－1925年6月22日）是德國數學家，生於德國杜塞多夫。他在埃爾朗根、慕尼黑和萊比錫當過教授，最後到了哥廷根，教授數學。他的主要課題是非歐幾何、群論和函數論。他的將各種幾何用它們的基礎對稱群來分類的愛爾蘭根綱領的發布影響深遠：是當時很多數學的一個綜合。著作有《高觀點下的初等數學》，他死在哥廷根。1885年克萊因被英國皇家學會選為國外會員並被授予科普勒獎金。1908年克萊因被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會主席。^[3]

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