倍數
倍數( multiple )，一個整數能夠被另一個整數整除，這個整數就是另一整數的倍數。同樣的，一個數除以另一數所得的商。如a/b=c，就是說，a是b的倍數。一個數的倍數有無數個，也就是說一個數的倍數的集合為無限集。需要注意的是，不能把一個數單獨叫做倍數，只能說一個數是另一個數的倍數。[1]
| 倍數 | |
|---|---|
目錄
定義
一個整數能夠被另一個整數整除，那麼這個整數就是另一整數的倍數。
公倍數
特徵
注意:以下特徵是就整數的十進制表示法而言。
(1)2的倍數
一個數的末尾是偶數(0，2，4，6，8)，這個數就是2的倍數。
如3776。3776的末尾為6，是2的倍數。3776÷2=1888
(2)3的倍數
一個數的各位數之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
如4926。(4+9+2+6)÷3=7，是3的倍數。4926÷3=1642
(3)4的倍數
一個數的末兩位是4的倍數，這個數就是4的倍數。
如2356。56÷4=14，是4的倍數。2356÷4=589
(4)5的倍數
一個數的末尾是0或5，這個數就是5的倍數。
如7775。7775的末尾為5。7775÷5=1555
(5)6的倍數
一個數隻要能同時被2和3整除，那麼這個數就能被6整除。
(6)7的倍數
若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下:13-3×2=7，所以133是7的倍數;又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下:613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍數，余類推。
(7)8的倍數
一個數的末三位是8的倍數，這個數就是8的倍數。
如7256。256÷8=32，是8的倍數。7256÷8=907
(8)9的倍數
若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
(9)10的倍數
若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。
(10)11的倍數
若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。如264、3080和95949392，2+4-6=11×0，3+8-0-0=11×1，9×4-(5+4+3+2)=11×2，264、308和95949392都能被11整除。
11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是:倍數不是2而是1。
將一個數從個位開始兩兩分隔，若所有分隔開的數和為11的倍數，則這個數為11的倍數(如32571，分隔成3 25 71，3+25+71=99，99為11倍數，所以32571是11的倍數)。
(11)12的倍數
若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
(12)13的倍數
若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
(13)17的倍數
若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數。
(14)19的倍數
若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果和是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數。
(15)23的倍數
若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除。
(16)25的倍數
兩位數以上(不包含兩位數)，看末兩位是否是25的倍數。
(17)125的倍數
三位數以上(不包含三位數)，看後三位是否是125的倍數。
(18)合數的倍數
其實就是質數的乘積，只要掌握了一些質數的倍數，一些合數的倍數也會掌握了。如上文提到的4、6、8、12。
規律
任意兩個奇數的平方差是8的倍數。
證明:設任意奇數2n+1,2m+1,(m,n∈N)
(2m+1)^2-(2n+1)^2
=(2m+1+2n+1)*(2m-2n)
=4(m+n+1)(m-n)
當m,n都是奇數或都是偶數時，m-n是偶數，被2整除
當m,n一奇一偶時，m+n+1是偶數，被2整除
所以(m+n+1)(m-n)是2的倍數
則4(m+n+1)(m-n)一定是8的倍數
(注:0可以被2整除，所以0是一個偶數，0也可以被8整除，所以0是8的倍數。)