上界
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上界（upper bound）是一个与偏序集有关的特殊元素，指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。若数集S为实数集R的子集有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。
目录
简介
上界，是与偏序集有关的一个特殊元素。指偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。设<A，R>是偏序集， ，若对所有 都有xRa，则a称为B在偏序集<A，R>中的上界，简称B的上界，记为 。若a是B的上界，对于B的任何上界c，都有 aRc，则a称为B的上确界（或最小上界），记为 。考虑一个实数集合M。如果有一个实数s，使得M中任何数都不超过s，那么就称s是M的一个上界。用数学符号表示为：对∀x∈M，都有x≤s，则称s是M的上界（upper bound）。确界原理：若R的子集M有上界，则必有上确界；若集合M有下界，则必有下确界。上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η∈R满足（i）对∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界；（ii）对∀a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），则称η为数集S的上确界；下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ∈R满足：（i）对∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；（ii）对∀β>ξ,∃x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），则称ξ为数集的S的下确界； 由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界同理。
评价
对一个 ，它的上界可能不存在，或可能不止一个。例如，令A={1,2,3}，R={<a,b>|a整除b}。当B1={2,3}时，B1没有上界，当B2={1}时，有上界1,2,3，且1是B2的上确界。对 ，若上确界存在，则是惟一的。一个子集B有上界时它未必有上确界，有上确界也不一定在子集B之中，例如，如概述图中哈塞图表示的以A={a，b，c，d，e}为基本集的一个偏序集，子集B={b，c，d}，以a为上界，a {b，c，d}。子集{e，f}的上界与上确界都是 f 。子集{c，d，e}无上界，也无上确界所有自然数的每个子集都具有下界，因为自然数具有最小元素（0或1，取决于自然数的确切定义）。 自然数的无限子集不能从上面界定。 整数的无限子集可以从下方界定或从上方界定。有理数字的无限子集可能来自也可能不会从下方界定，也可能不限于上述。[1]