開啟主選單
求真百科
搜尋
檢視 链式法则 的原始碼
←
链式法则
由於下列原因,您沒有權限進行 編輯此頁面 的動作:
您請求的操作只有這個群組的使用者能使用:
用戶
您可以檢視並複製此頁面的原始碼。
{| class="wikitable" align="right" |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big>链式法则</big>''' |- |<center><img src=https://p1.ssl.qhimg.com/t01091e4645bfaf1819.jpg width="300"></center> <small>[https://baike.so.com/gallery/list?ghid=first&pic_idx=1&eid=1134846&sid=1200507 来自 网络 的图片]</small> |- |- | align= light| |} '''链式法则'''(英文chain rule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3 链式法则(chain rule) 若h(x)=f(g(x)) 则h'(x)=f'(g(x))g'(x) 链式法则用文字描述,就是“由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数,乘以里边函数的导数。 =='''简介'''== 证法一:先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的[[函数]]H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。 设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0) 又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0) 于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0) 因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且 F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)。 =='''评价'''== 证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0) 当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu 但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。 又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得 dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx 又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0 则lim(Δx->0)α=0 最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 。<ref>[https://new.qq.com/rain/a/20211021A0BP3O00 链式法则]搜狗</ref> =='''参考文献'''== [[Category:310 數學總論]]
返回「
链式法则
」頁面