檢視曲率半径的原始碼

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| style="background: #FF2400" align= center|  '''<big>曲率半径</big>'''
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中文名；曲率半径

解 释；曲率的倒数

类 别；定律

公 式；K=lim|Δα/Δs|
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在微分几何中，曲率的倒数就是'''曲率半径'''，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的[[切线]]方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。 对于[[表面]]，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

==简介==

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对[[弧长]]的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。 对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。<ref>[https://wenda.so.com/q/1378234733062687?src=180&q=%E6%9B%B2%E7%8E%87%E5%8D%8A%E5%BE%84 什么是曲率半径],360问答 , 2013年09月03日</ref>

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故[[曲率半径]]就是该圆的半径；直线不弯曲 ，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是0，故直线没有曲率半径，或记曲率半径为圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，[[曲率]]半径越大曲率越小，反之亦然。

如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率[[半径]]。

==公式推导==

在空间曲线的情况下，曲率半径是曲率向量的长度。在平面[[曲线]]的情况下，则R要取绝对值。

其中s是曲线上固定点的弧长，α是切向角，K是曲率。

如果曲线以笛卡尔[[坐标]]表示为

，则曲率半径为（假设曲线可微分）

如果曲线由函数 参数给出，则曲率为

如果 由下式给出：

作为特殊情况，如果f（t）是从R到R的[[函数]]，则其图的曲率半径γ（t）=（t，f（t））是

对于上半平面半径a的半圆：

对于上半平面半径a的[[半圆]]：

半径a的圆的曲率半径等于a。

==椭圆==

在具有长轴2a和短轴2b的椭圆中，长轴上的顶点具有任何点的最小曲率[[半径]]，

；

并且短轴上的顶点具有任何点的最大曲率半径

。

==应用==

（1）对于差分几何上的应用，请参阅Cesàro方程；

（2）对于地球的曲率半径（由椭圆椭圆近似），请参见[[地球]]的曲率半径；

（3）曲率半径也用于梁的弯曲三部分[[方程]]中；

（4）曲率半径（光学）。

（5）半导体结构中的应力：

涉及蒸发薄膜的半导体结构中的应力通常来自制造过程中的热膨胀（热应力）。发生热应力是因为膜沉积通常在室温以上。在从沉积[[温度]]冷却至室温时，基板和膜的热膨胀系数的差异引起热应力。

当原子沉积在基底上时，由薄膜中形成的微观结构引起固有应力。由于原子穿过空隙有吸引力的相互[[作用]]，薄膜中的微孔产生拉伸应力。

薄膜半导体结构中的应力导致晶片的翘曲。应力结构的曲率半径与结构中的应力张量有关，可以用修正的Stoney公式来描述。可以使用光学扫描仪测量包括[[曲率半径]]的应力结构的形貌。现代扫描仪工具具有测量基板全貌和测量两个主曲率半径的能力，同时为90米及以上的曲率半径提供0.1%的[[精度]]。

== 参考来源 ==
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<center>曲率半径</center>
</center>
== 参考资料 ==

[[Category: 970 技藝總論]]